Lagrange Çarpanı Olarak Basınç

Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerinde, basınç terimi genellikle bir Lagrange çarpanı olarak adlandırılır. sıkıştırılamazlık durumu.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

Bu ne anlamda doğrudur? Sıkıştırılamazlık kısıtlamasına tabi olan bir optimizasyon problemi olarak sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerinin bir formülasyonu var mı? Eğer öyleyse, sıkıştırılamayan sıvı akışı denklemlerinin bir optimizasyon çerçevesi içinde çözüldüğü sayısal bir analog var mı?

— Ben
kaynak

Bu en kolay sabit Stokes denklemleri dikkate alınarak görülür

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Problemler arasındaki bu eşdeğerlik (bildiğim) herhangi bir sayısal şemada kullanılmamaktadır, ancak analizde önemli bir araçtır, çünkü Stokes denklemlerinin doğrusal bir alt uzaydaki Poisson denklemi olduğunu göstermektedir. Aynısı zamana bağlı Stokes denklemleri (alt uzaydaki ısı denklemine karşılık gelir) için de geçerlidir ve Navier-Stokes denklemlerine genişletilebilir.

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Harika bir cevap için teşekkürler. Bu formülasyonun zamana bağlı duruma genişletilip genişletilemeyeceğini biliyor musunuz?

— Ben

Evet, dediğim gibi ıraksamayan fonksiyonların alt alanında bir ısı denklemine yol açıyor.

— Wolfgang Bangerth

Üzgünüm, daha net olmalıydım. Zamana bağlı Stokes (veya Navier-Stokes) denklemlerini bir optimizasyon problemi olarak, muhtemelen zamanla entegre bir işlevselliğin yeniden oluşturmanın bir yolu var mı?

— Ben

Bir optimizasyon problemi olarak değil - ısı denkleminin çözümü hiçbir şeyi en aza indirmez (Lagrange fonksiyonunun durağan noktası olsa da). Ancak Stokes denklemlerini aşağıdaki gibi formüle edebilirsiniz: böylece herkes için kısıtlamasına tabidir . Test boşluğunu deneme boşluğundan daha küçük olarak seçtiğimi ve bu nedenle varyasyon denkleminin sol ve sağ tarafının eşit olmayacağını unutmayın. Fark basınçtır.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth