Örtük FEM ve açık FEM arasındaki fark nedir?

10

Açık FEM ile örtük FEM arasındaki fark nedir? Buradaki mesaja göre , tek fark örtük veya açık zaman entegrasyonunun kullanılmasıdır.

Okuduğum bir kitaptan hatırladığım gibi, örtük FEM, kitlenin düğümlere götürülmediği yerdir.

Açık ve kapalı FEM'in kesin tanımları nelerdir?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
kaynak

7

Geçici problemler için FEM yöntemi genellikle çizgi yöntemini kullanır, yani uzamsal ayrıklaştırma zaman ayrıklaştırma işleminden ayrılır: burada , zamanın bilinmeyen işlevleri olarak kabul edilen düğüm büyüklüklerinin vektörüdür. Bu varsayım altında, içindeki uzay-zaman PDE'leri statik problemler için olağan FEM makineleri kullanılarak sadece içinde ODE'lere indirgenir (ayrıklaştırılır) .

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Diğer cevapların işaret ettiği gibi, bu ODE'lerin zaman entegrasyon şemasına referansla açık veya örtük FEM'den bahsediyoruz.

Sürekli ortam mekaniği problemlerine referansla (sönümleme olmadan), burada ve iç ve dış düğüm eşdeğer kuvvetleridir. Doğrusal sorunlar için .

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

Aşırı basitleştirme riski altında, açık bir şemada olan kütle matrisi toplanmışsa önemsizdir. Bunun aksine, örtük yöntemlerde (doğrusal olmayan) denklemleri yi çözmeniz gerekir . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Sorunuzu tam olarak cevaplamak için: açık / kapalı, kitle matrisinin doğasını değil ODE sisteminin çözümünü ifade eder. Tabii ki, açık bir şemanın her makul uygulaması kütle matrisinin toplanmasını gerektirir, aksi takdirde için çözümün avantajları kaybolur . Örtük şemaların aksine, hem topaklı hem de tutarlı kütle matrislerine sahip olabilirsiniz. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
kaynak

7

Evet, zaman entegrasyonu ama aynı zamanda şu anlama geliyor:

Örtülü şemada Ax = b türünde doğrusal bir sistemi çözmelisiniz, burada açık şemada olduğu gibi, topaklanmış kütle matrisinin yalnızca çapraz girişleri olduğundan inv (M) önemsizdir.
Açık şemadaki zaman adımınız CFL istikrar kriterleri ile sınırlıdır. Örtük şemalar koşulsuz olarak kararlıdır (pratikte yine de doğruluk için makul bir zaman adımına ihtiyacınız vardır)

Tipik olarak atalet etkilerinin önemli olduğu problemler (örneğin, dalga yayılımı) yarı statik problemlerin genellikle örtük bir şema kullandığı açık şemalarla çözülür. Ancak istisnalar vardır.

— stali
kaynak

Örtük şemalarda sadece doğrusal denklem sistemleri ortaya çıkmaz, (örneğin sıvı modellemede) doğrusal olmayan denklem sistemleri elde edilir.

— Sefalet

5

"Açık" ve "örtük" terimleri zaman ayrıklığında ortaya çıkar ve bu terimler literatürde sıradan diferansiyel denklemler üzerinde zaten kullanılmaktadır (yani, sonlu elemanlar yöntemine özgü değildir). ODE'lerin, örneğin Hairer & Wanner'ın sayısal çözümünü tartışan bir kitaba göz atmaya değer.

— Wolfgang Bangerth
kaynak