FAS-multigrid doğrusal hata düzeltmeden daha mı yavaş?

Hem doğrusal hata düzeltme (LDC) hem de tam yaklaşım şeması (FAS) kullanarak bir V-Cycle multigrid çözücü uyguladım.

Benim sorunum şu: LDC kullanarak artık döngü başına ~ 0.03 faktör azalır. FAS uygulaması da doğrusal bir faktörle yakınsar, ancak faktör sadece ~ 0.58'dir. Bu nedenle FAS, döngü sayısının yaklaşık 20 katına ihtiyaç duyar.

Kodun çoğu paylaşılır, tek fark aşağı / yukarı hesaplamalarıdır, LDC kullanır

aşağı:$u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

yukarı:$u_h:=u_h+I_H^hu_H$

ve FAS kullanımları

aşağı:$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

yukarı:$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

Test ayarım Brigg'in "A Multigrid Eğitimi, İkinci Baskı", s. 64, analitik çözümü vardır

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$ ile$x,y\in [0,1]^2$

ve denklem Laplace-Operatörü olarak tipik doğrusal 5 noktalı şablon kullanılarak . İlk tahmin .$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

Test ayarının değiştirilmesi, örneğin başlangıçtaki tahmini kullanılarak önemsiz değerine dönüştürmek , neredeyse aynı yakınsama faktörleri ile sonuçlanır.$u(x,y)=0$$v=1$

Sadece aşağı / yukarı kodu farklı olduğundan, LDC sonuçları kitaba uyuyor ve FAS en azından işe yarıyor gibi görünüyor, aynı lineer ayarda neden bu kadar yavaş olduğu konusunda hiçbir fikrim yok.

LDC ve FAS'ta açıklayamadığım tek bir garip davranış var, ancak bu sadece ilk tahmin kötü olduğunda gerçekleşir (örneğin ama aynı zamanda yeni ince ızgaraya enterpolasyonun kalıntıyı ila ): Çözüm kaba ızgaradaki makine hassasiyetine çözümlenecek şekilde düzeltme sonrası gevşeme sayısına çok yüksek bir sayıya yükselirsem, bir adım yukarı çıkarken neredeyse tüm basamakları kaybeder bir sonraki ince ızgaraya.$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

Bir resim kelimelerden daha fazlasını söylediğinden:

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

Döngü başına yalnızca birkaç basamak kazanılıp kazanılamayacağından veya ince ızgaraya enterpolasyon sırasında bir hatayı gösterip göstermediğinden emin değilim. Eğer ikinci durum söz konusuysa, LDC her zaman 2 gevşeme kullanırken kitapta kalan ~ 0.03 kalıntı oranlarına nasıl ulaşabilir?

Doğrusal olmayan problemler için multigrid yaptığım için çoğunlukla düzeltme yerine FAS kullandığım için cevabınızı doğrudan bilmiyorum, ancak bazı düşünceler bakabilirsiniz:

• Doğrusal bir soruna doğrusal bir düzeltme şeması uyguluyorsunuz, bu yüzden çok iyi sonuç vermesi şok edici değil.

• Sınır koşullarınızı göz önünde bulundurun: doğru yaptığınızdan emin olun ve karmaşık BC'lerin kaba ızgarada tamamen farklı görünebileceğini ve buradaki düzeltmelerin o kadar kullanışlı olmadığını unutmayın.

• Kaynak terim için tedavinizi iki kez kontrol edin; Poisson için yazdığımda, bu terimle ilgili uzama aşamasında bir şeyi mahvettiğini hatırlıyorum.

• En kaba ızgarada yakınsama için tekrarlama ihtiyacını hiç görmedim. Buradaki bir çözüm, ince ızgara kalıntısının doğru olmasına bağlıdır, ki bu doğru değildir. Bu hataları alan adından çıkarmaya / düzeltmeye çalışıyorsunuz. Erken bir yinelemede en kaba ızgaraya tamamen yakınsanız, çözümünüz doğal olarak doğru ince ızgara çözümünden oldukça uzaktır, çünkü orada kalanlarınız güncel değildir. Neredeyse kesinlikle artıkların uzama aşamasında yükseldiğini görmenizin nedeni budur.

• Ayrıca, sınırlama ve uzatma operatörleri için bir gevşeme faktörünü deneyin, örneğin 0,75.

Yardımcı olursa, FAS artık geçmişim tam 7V döngüleri boyunca tek bir ızgara kullanarak bir poisson sorunu için böyle görünüyordu. Gevşeme faktörünün 0.75 olduğuna inanıyorum ve 3 aşamalı bir RK şemasını, her ızgara düzeyinde tek bir yinelemeyle daha pürüzsüz olarak kullanıyordum.

Tepe merkezli bir ayrıklaştırma kullanıyorsanız, durum kısıtlaması, kullandığınız gibi görünen tam ağırlıklı artık kısıtlama yerine enjeksiyon olmalıdır. Yani, değiştirin$I_h^H$ ile $\hat I_h^H$devleti kısıtlarken. Durum için tam ağırlıklı kısıtlamanın kullanılması, durumun uygulandıktan sonra yüksek frekanslı bileşenlerinin örtüşmesini sağlar.$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$kaba düzeltmeden önceki ile aynı ölçekte yeni gürültü ile sonuçlanır (sınır koşulları bu etki için özellikle muhtemel suçlulardır). Enjeksiyon kullanın,$\hat I_h^H u^h$ve bu sorun ortadan kalkmalı.

Spektral olarak, devlet kısıtlamasının yalnızca yüksek ikincil düzene (düşük frekansların doğru şekilde korunması) ihtiyacı vardır, ancak birincil düzenin (yüksek frekansların yumuşatılması) önemli değildir. Enjeksiyon birincil sıra 0 ve sonsuz ikincil sıraya sahiptir. Bu arada, artık kısıtlamanın pozitif (en azından) olması için hem birincil hem de ikincil düzene ihtiyacı vardır. Bkz. Achi Brandt'ın Multigrid Kılavuzu bölüm 4.3 .

MG yöntemlerini tasarlarken, artıklardan ziyade hataya bakmak ve normu uygun şekilde ağırlıklandırdığınızdan emin olmak da iyidir.

Şimdi problemle çözdüm. Depoladım$u_{old}^H=I_h^Hu^h$ V döngüsü sırasında inip daha sonra tekrar kullandığınızda

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$.

Sorun tekrar aşağı gitmeden önceydi $H$ için $2H$, $u_{old}^H$gevşetilmişken yerde . Bir kopyayı gevşeme adımlarından önce saklamak yardımcı oldu. Dan beri$u_{old}^H$ yalnızca FAS için gerekliydi, doğrusal hesaplamalarda görünmedi.