Quantum Monte Carlo hakkında karışıklık

Benim sorum, bu referansta tarif edildiği gibi QMC yöntemlerinden gözlemlenebilirlerin çıkarılmasıyla ilgilidir .

Path Integral Monte Carlo gibi çeşitli QMC yöntemlerinin resmi türevini anlıyorum. Ancak, günün sonunda hala bu tekniklerin etkili bir şekilde nasıl kullanılacağı konusunda kafam karıştı.

Kuantum MC yöntemlerinin türetilmesinin temel fikri, Trotter yaklaşımı yoluyla, bir kuantum sisteminin yoğunluk matrisi veya zaman evrimi operatörü olabilecek bir operatör takdir etmektir. Daha sonra, MC yöntemleriyle tedavi edilebilecek ek bir boyuta sahip klasik bir sistem elde ederiz.

Biz yorumlayabilir göz önüne alındığında kuantum operatörü e - β H ters bir sıcaklık ve hayali süre olarak, her ikisi de bu algoritmaların amacı, bu operatörün bir yaklaşım hesaplamak için olmalıdır. Doğrudan "ters sıcaklığı" durumunda bir simülasyon boyunca örneklenen çeşitli konfigürasyonlarda gelen miktarlarını ölçmek eğer Nitekim, temel bir olasılık yoğunluk saygılı örnekleri olurdu β / M , $\beta$$e^{−\beta\hat{H}}$$\beta/M$$M$Trotter ayrışmasında ortaya konan ayrı adımların sayısıdır. Bunun yerine, "hayali zaman" durumunda, çeşitli ayrık zaman adımlarında örnekler elde ederdik, böylece zaman boyunca ortalamalar elde ederiz. Biz de böyle miktarları elde olmaz belirli bir süre sonunda , t ile, A bir gözlenebilir operatör.$\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$$t$$\hat{A}$

Ancak, bence , belgenin (5.34) 'den alınan bu tür simülasyonlardan (sayfa 35) doğrudan örneklediğimiz miktarlar :

$$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$$

ek boyut verildiğinde kuantum sistemiyle ilgili miktarlar olamaz. Bunun yerine, doğru kuantum miktarları, her numunede bir benzetimli konfigürasyon zincirinin tamamını içeren (5.35) gibi formüllerle hesaplanabilir :$M$

$$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$$

Belirli bir gözlemlenebilir hakkında yararlı bilgiler elde etmek için bir dizi QMC simülasyonunun gerekli olduğu doğru mudur?

Sorunuzda çok fazla kafa karışıklığı var. Benim için en önemlisi, bazı varyasyonel yöntem ve difüzyonda integrallerin Monte-Carlo hesaplaması olan "naif" QMC'yi farklı argümantasyon ve türetme ile farklı yöntemler olarak görmemenizdir.

Ancak asıl mesele hayali zamanla ilgilidir. Difüzyonda Monte-Carlo hayali zamanı, zamandan bağımsız Schroedinger denklemini zamana bağlı difüzyon benzeri denkleme dönüştürmek için bir numaradır ve sonsuz "zaman" sınırındaki çözüm, orijinal Schroedinger denkleminin bir çözümüne meyillidir. Bu kadar. DQMC'de zaman gerçek değil.

Modern Physics Reviews, 73, 33 (2001) 'de nispeten iyi fakat basit bir açıklama verilmiştir .

PS Bu arada, sorunuzda "Trotter yaklaşımı" ile ne demek istiyorsun?

İnsanların istatistiksel ortalamaları (zamana göre çözülen bilgilerin aksine) hesaplamak için monte carlo tekniklerini kullandıkları konusunda haklısınız. O bu nedir mutlaka doğru değil edilmelidir hesaplanan: Bu tür bilgilerin ne istediğinize bağlıdır. Örneğin, zamana bağlı bir harici zorlamanız vardır ve sistemin yanıt olarak nasıl geliştiğini görmek istersiniz.