Mutlak Sapma Toplamını En Aza İndirme (

15

Bir veri kümesi $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ ve toplamı en aza indirecek şekilde parametresini bulmak istiyorum yani $m$

\sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$

min_{m} \sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\min_{m}\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$

optimization convex-optimization

— mayenew
kaynak

2

Biraz ayrıntı verebilir misiniz?

— Geoff Oxberry

Bu durumda çözüm maksimum ve minimum değerler arasındaki orta nokta olmaz mı?

— Paul

@ Medyan toplamı en aza indirebilir, ancak analitik olarak, özellikle l1-minimizasyonda nasıl yapılabileceğini bilmek isteyebilir

— mayenew

@kadu bu doğru, medyan çözüm. Medyanı analitik olarak hesaplamak önemsizdir; sırala ve sonra orta değeri al.

— David Ketcheson

22

Muhtemelen, medyanın sorunu çözdüğüne dair bir kanıt mı istiyorsunuz? Bu şu şekilde yapılabilir:

Amaç parçalı doğrusaldır ve bu nedenle noktaları dışında ayırt edilebilir . eğimi nedir, noktası nedir? Eğim, eşlemelerinin eğimlerinin toplamıdır. ve bu ya ( ) veya ( ). Dolayısıyla, eğim kaç küçük olduğunu gösterir . Eğer eşit sayıda daha küçük ve büyükse ( ' sayısı için ve hatta sayısı ) eğimin sıfır olduğunu görürsünüz . Tek sayıda $m=x_i$ $m\neq x_i$ $m\mapsto |m-x_j|$ $+1$ $m>x_j$ $-1$ $m<x_j$ $x_i$ $m$ $x_i$ $m$ $x_i$ $x_i$ o zaman eğim "en orta" olanın sol ve en sağdaki 1'dir, dolayısıyla en orta olan en düşüktür. $-1$ $+1$

— kısa kılıç
kaynak

16

Bu sorunun çoklu boyutlara genelleştirilmesine geometrik medyan problemi denir . David'in işaret ettiği gibi, medyan 1-B vakası için çözümdür; orada, sıralamadan daha verimli olan medyan bulma seçim algoritmaları kullanabilirsiniz . Sıralar iken seçim algoritmaları ; sıralar yalnızca birden fazla seçim gerektiğinde daha etkilidir, bu durumda bir kez (pahalı bir şekilde) sıralayabilir ve ardından sıralı listeden tekrar tekrar seçim yapabilirsiniz. $O(n\log n)$ $O(n)$

Geometrik medyan problemine bağlantı, çok boyutlu vakalar için çözümlerden bahseder.

— Geoff Oxberry
kaynak

6

Medyan açısından açık çözüm doğrudur, ancak mayenew'in bir yorumuna yanıt olarak, başka bir yaklaşım.

O iyi bilinen minimizasyonu genellikle sorunlar ve özellikle de nakledilen sorun, doğrusal programlama ile çözülebilir. $\ell^1$

Bilinmeyen ile verilen egzersiz için aşağıdaki LP formülasyonu yapılacaktır : $z_i,m$

m i n \sum z_{i}

$min \sum z_i$ öyle ki:

z_{i} \geq m - x_{i}

$z_i \ge m - x_i$

z_{i} \geq x_{i} - m

$z_i \ge x_i - m$

Açıkça eşittirBu nedenle, bu, hataların mutlak değerlerinin toplamının en aza indirilmesini ister. $z_i$ $|x_i - m|$

— hardmath
kaynak

2

Bunu göstermenin aşırı güçlü dışbükey analiz yolu sadece alt lisansları almaktır. Aslında bu, yamaçları içeren diğer cevapların bazılarında kullanılan akıl yürütmeye eşdeğerdir.

Optimizasyon problemi dışbükeydir (hedef dışbükey olduğundan ve herhangi bir kısıtlama olmadığından). Leftdır-dir $\left|m-x_i\right|$

-1 $m<x_i$

[-1,1] $m=x_i$

ise +1 . $m>x_i$

Bir dışbükey işlevi, yalnızca alt gradyanı sıfır içeriyorsa ve dışbükey işlevlerin toplamının alt gradyanı, alt öğelerin (set) toplamı olduğu için en aza indirildiğinden, yalnızca medyan olması durumunda 0'ın alt gradyanda olduğunu görürsünüz. ait . $m$ $x_1,\ldots x_k$

— cjordan1
kaynak

0

Temelde şu :

\arg min_{m} \sum_{i = 1}^{N} | m - x_{i} |

$\arg \min_{m} \sum_{i = 1}^{N} \left| m - {x}_{i} \right|$

Biri (Daha titiz olmak, düzgün olmayan Norm işlevinin bir Alt Eğimi olduğunu söyleyebilir ). Dolayısıyla, yukarıdaki toplamın türetilmesi . Bu yalnızca pozitif öğe sayısı, . $\frac{\mathrm{d} \left | x \right | }{\mathrm{d} x} = \operatorname{sign} \left( x \right)$ ${L}_{1}$
$\sum_{i = 1}^{N} \operatorname{sign} \left( m - {x}_{i} \right)$
$m = \operatorname{median} \left\{ {x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{N} \right\}$

medianAyrık bir grubun benzersiz bir şekilde tanımlanmadığına dikkat edilmelidir .
Dahası, grup içinde bir madde olmak zorunda değildir.

— Royi
kaynak