Doğrusal olmayan PDE'leri Newton-Raphson yinelemesi kullanmadan çözmek mümkün müdür?

Bazı sonuçları anlamaya çalışıyorum ve doğrusal olmayan problemlerle ilgili bazı genel yorumları takdir ediyorum.

Fisher denklemi (doğrusal olmayan reaksiyon difüzyon PDE),

u_{t} = d u_{x x} + β u (1 - u) = F (u)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

takdirine bağlı olarak,

u_{j}^{'} = L u + β u_{j} (1 - u_{j}) = F (u)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

burada $\boldsymbol{L}$ diferansiyel operatör ve $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$ takdir .

Yöntem

Örtük bir şema uygulamak istiyorum çünkü istikrar ve sınırsız zaman adımı istiyorum. Bu amaçla $\theta$ -method kullanıyorum ( $\theta=1$ tamamen örtük bir şema verdiğini ve $\theta=0.5$ yamuk veya "Crank-Nicolson" şemasını verdiğini unutmayın),

u_{j}^{'} = θ F (u^{n + 1}) + (1 - θ) F (u^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

Ancak, doğrusal olmayan problemler için bu yapılamaz çünkü denklem doğrusal bir biçimde yazılamaz.

Bu sorunu aşmak için iki sayısal yaklaşım araştırıyorum,

IMEX yöntemi

$u_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L u^{n + 1} + (1 - θ) L u^{n}}} + \underset{Fully explicit reaction term}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
En belirgin yol, reaksiyon teriminin doğrusal olmayan kısmını göz ardı etmek ve sadece reaksiyon süresini mümkün olan en iyi değerle, yani önceki zaman adımından itibaren güncellemektir. Bu IMEX yöntemi ile sonuçlanır.
Newton çözücü

ν^{k + 1} = ν^{k} - (ben - θ τ {bir}^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

Tam yöntem denklemi, gelecekteki çözüm değişkenini bulmak için Newton-Raphson yinelemesi kullanılarak çözülebilir. Burada , yineleme indeksidir ( ) ve , Jacobian matrisidir . Burada yineleme değişkenleri için sembollerini , gerçek zaman noktasında denkleminin çözümünden ayırt edilecek şekilde kullanıyorum . Bu aslında değiştirilmiş bir Newton çözücüsüdür, çünkü Jacobian her yinelemeyle güncellenmez. $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

Sonuçlar

Fisher denkleminin sayısal yöntemlerle karşılaştırılması.

Yukarıdaki sonuçlar oldukça büyük bir zaman adımı için hesaplanır ve zaman adımlama yaklaşımı ile tam bir Newton yineleme çözücüsü arasındaki farkı gösterir.

Anlamadığım şeyler:

Zaman adımlama yönteminin "TAMAM" yaptığına şaşırdım ama zaman geçtikçe analitik çözümün gerisinde kalıyor. ( NB Sonra daha küçük bir zaman adımı seçmişti zaman adım yaklaşım analitik model kapalı sonuçlar verir). Zaman adımlama yaklaşımı neden doğrusal olmayan bir denkleme makul sonuçlar verir?
Newton modeli çok daha iyisini yapar, ancak zaman ilerledikçe analitik modeli yönlendirmeye başlar. Newton yaklaşımının doğruluğu zamanla neden azalıyor? Doğruluk geliştirilebilir mi?
Neden birçok yinelemeden sonra sayısal model ve analitik modelin ayrılmaya başladığı genel bir özellik var? Bu sadece zaman adımı çok büyük mü yoksa her zaman olacak mı?

— boyfarrell
kaynak

ODE çözücülerinin temel hata analizini, örneğin Hairer / Nørsett / Wanner'da ve bazı kararlılık analizlerini okumanızı tavsiye ederim. Sorularınızın çoğu o zaman cevaplanacaktır.

— Guido Kanschat

@boyfarrell, diğer okuyucuların karışmasını önlemek için, terminolojiyi yönteminizi açıklayan yere koymalısınız: 1. IMEX - doğrusal olmama konusunda açık ve doğrusal bölümde kapalı. 2. Bu genellikle güncelleme için çözmek için Newton yöntemi gerektiren standart scheme

θ

$\theta$

— Jan

Merhaba @ Sanırım her şeyi aldım. Yardımın için tekrar teşekkürler.

— boyfarrell

Yanıtlar:

Bir alan ayrıklaştırması yaptığınızı varsayıyorum, böylece (vektör değerli) ODE sayısal bir şema aracılığıyla geçerli zaman örneğinde yaklaşımını , deki bir sonraki değerine .

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), [0, T] üzerinde, u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

Ardından sorularınız , güncellemenin olarak yazdığı müstehcen özelliklere başvurur.

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

örtük ,

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{ben} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

veya bir kombinasyonu hem ( ' IMEX tek adımlı zaman atlama şemaları', @Jed Brown'ın cevabı bakın).

Bu kurulumda, Newton yöntemi basitçe dan kaynaklanan sistemlerinde muhtemelen doğrusal olmayan çözümü çözmek için bir yaklaşımdır . $u_h^{n+1}$ $(*)$

Ve cevaplarım, tek adımlı yöntemlerin sayısal analizinden elde edilen sonuçlara dayanıyor.

Yakınsama şemaları kullanırsanız, yakınsama sırası açısından, örtük şemalar kullanmanın genel bir avantajı yoktur (bkz. 2.). Bununla birlikte, örneğin Laplacian içeren sisteminiz gibi sert sistemler için, zaman adımı kısıtlamaları olmadan kararlı olan örtük şemalar vardır. Bununla birlikte, teoride, açık şema için, denkleminizin kendisi kararlı olduğu sürece (örneğin, ikinci argümanda Lipshitz ise Picard-Lindelof Teoremine atıfta bulunduğu sürece) ve zamanınız daha küçük zaman adımlarında daha iyi sonuçlar alırsınız . -Adım çok küçük değil. $F_h$
Açık şemaların daha iyi performans gösterdiği örnekleri bulabilirsiniz. (Teorik olarak, örneğin örneğindeki zamanı tersine çevirebilir, terminal değerinden başlayabilir ve örtük ve açık değişimli bulabilirsiniz.) Newton hatasını yeterince küçük yaparsanız, zaman adımını azaltarak veya zamanı kullanarak doğruluk düzeyini artırabilirsiniz. - yüksek dereceli adım şemaları.
Genel hata için hata tahminindeki sabit , zaman aralığının uzunluğu ile katlanarak büyür. Mesela, açık Euler şeması için buraya bakınız . Bu, her tek adımlı yöntem için geçerlidir. Tahmin , , daha küçük bir zaman adımı bu etkiyi sadece erteler. $C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

Bazı açıklamalar ve son cevap:

IMEX şemaları, doğrusal olmayan çözümlerden kaçınan sadece doğrusal kısmı dolaylı olarak tedavi etmek için kullanılabilir. Bkz. Jed Brown'un cevabı.
Crank-Nicolson tek adımlı bir yöntemdir. Çok adımlı yöntemlerde 'çoklu', geçerli güncellemeyi tanımlamak için önceki zaman aralıklarından birkaçının kullanılmasını ifade eder. Örneğin, Bu, güncellemenin önceki değerlerde yinelenmeyecek şekilde tanımlandığı tek adımlı ve ayrıca bölünmüş adımlı veya IMEX yöntemlerinden çok farklıdır. $u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

Yani, cevabım: Evet , doğrusal olmayan PDE'leri Newton yöntemi olmadan çözebilirsiniz. Açık şemalar, 'IMEX' şemaları veya doğrusal doğrusal örtük yöntemler (örn. Rosenbrock yöntemleri) kullanabilirsiniz. Ayrıca, sabit nokta yinelemesi veya özellikle durumlarda cebirsel çözücüler gibi sistemleri çözmek için başka yaklaşımlar da kullanabilirsiniz . $(*)$

— Ocak
kaynak

Evet, difüzyon terimine standart merkezi fark kalıbı uyguladım. Istikrarlı bir zaman adım gerçekçi olmayan küçük olduğu için (çözmek istediğim gerçek sorun için) açık bir plan kullanamıyorum. Bu yüzden IMEX veya örtük seçenekleri araştırıyorum. Üçüncü noktanıza gelince, hata birikimini önlemek için çok aşamalı yöntemler kullanmalıyım. Yukarıda kullandığım Crank-Nicolson şeması (Newton çözücü ile) çok aşamalı bir yöntem olarak mı (zaman içinde iki noktaya sahip)? Newton çözücü yöntemini kullanırken hatanın zamanla artmasına şaşırdım.

— boyfarrell

Crank-Nicolson, olarak yazdığı için tek adımlı bir yöntemdir . Ayrıca, çok adımlı şemaların neden hata birikiminden kaçınması gerektiğini anlamıyorum.

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

— Jan

Tamam CN yöntemi hakkında açıkladığınız için teşekkürler. Evet, çok adımlı yöntemlerin neden daha düşük hata birikimine sahip olduğu ilginç. Newton çözücüsünün hata oluşturmasının nedeni, şimdi tek adımlık bir yöntem olması. Bu arada, Python'u sevdiğini biliyorum. Yukarıdakilerin hepsini scipy

— boyfarrell

Trefethen ve ark.'nın makaleye olan bağlantısını kaldırdım . ark. IMEX şemaları hakkında daha iyi referanslar olduğu için cevabımdan yüksek dereceli IMEX entegrasyonu konusunda.

— Ocak

Kısa cevap

Sadece ikinci dereceden doğruluk istiyorsanız ve gömülü hata tahmini yoksa, Strang bölünmesinden memnun olmanız mümkündür: reaksiyonun yarım adımı, tam difüzyon adımı, reaksiyonun yarı adımı.

Uzun cevap

Reaksiyon-difüzyon, doğrusal reaksiyonla bile, bölme hatası göstermesiyle ünlüdür. Gerçekten de, yanlış kararlı durumlara "yakınsama", sınır döngüleri için kararlı durumları yanlış anlamak, kararlı ve kararsız konfigürasyonları karıştırmak ve daha fazlası dahil olmak üzere çok daha kötü olabilir. Hesaplamalı fizikçilerle ilgili perspektif için bkz. Ropp, Shadid ve Ober (2004) ve Knoll, Chacon, Margolin ve Mousseau (2003). Matematikçinin sipariş koşulları açısından analizi için bkz. Hairer ve Wanner'ın katı ODE kitabı (Rosenbrock-W yöntemleri doğrusal olarak örtülü bir IMEX yöntemidir), Kennedy ve Carpenter (doğrusal olmayan) örtük IMEX "katkı maddesi" Runge-Kutta, ve Emil Constantinescu'nun daha yeni IMEX yöntemleri için sayfası .

Genel olarak, IMEX yöntemlerinin yalnızca altta yatan örtük ve açık yöntemlerden daha fazla sipariş koşulu vardır. IMEX yöntem çiftleri istenen doğrusal ve doğrusal olmayan stabilite ile tasarlanabilir ve böylece yöntemin tasarım sırasına kadar tüm sipariş koşullarını karşılarlar . Tüm sipariş koşullarının yerine getirilmesi, asimptotik bölme hatasını, her bir şemadaki hata ile aynı ölçekte tutacaktır. Asimptotik öncesi rejim hakkında hiçbir şey söylemez (büyük zaman adımları / düşük doğruluk gereksinimi), ancak her parçanın ayrı ayrı çözümlenmesinden nadiren daha sıkıdır. Her durumda, bölme hatası katıştırılmış hata tahmincisi tarafından görülebilir (uyarlanabilir hata kontrolü kullanılırken).

PETSc, Rosenbrock-W ve ilave Runge-Kutta aileleri için birçok IMEX yöntemine sahiptir ve bir sonraki sürümümüzde ekstrapolasyon ve doğrusal çok aşamalı IMEX'e sahip olacaktır.

Feragatname: PETSc zaman entegrasyonu desteğinin çoğunu yazdım ve Emil ile işbirliği yaptım (yukarıda bağlantılı).

— Jed Kahve
kaynak

Buna kesinlikle fizik perspektifinden yaklaşıyorum, bu yüzden tüm teknik detayların takip etmem biraz zaman alıyor çünkü birçok terime aşina değilim. Ben aslında bir deneyciyim! Sipariş koşulları hakkında biraz daha bilgi verir misiniz? IMEX bu çok adımlı yöntemler Jan tarafından mı belirtiliyor?

— boyfarrell

Sipariş koşulları, bir ODE yönteminin katsayıları arasındaki ilişkilerdir (örn., Bir Runge-Kutta yöntemleri için bir Kasap tablosundaki girişler), bir doğruluk sırasına sahip olmak için tatmin edilmesi gereken ilişkilerdir. Sipariş koşulları, ODE entegrasyon yöntemlerini tasarlayan herhangi bir kitap veya makalede tartışılır, ancak temel olarak Taylor genişletmesinde türevlerin ve eşleşen terimlerin tekrar tekrar uygulanması anlamına gelir. Yüksek dereceli yöntemler için sipariş koşullarının sayısı hızla artar, bu nedenle yüksek dereceli yöntemler tasarlamak zorlaşır. Engeller, sipariş koşullarının karşılıklı olarak uyumsuz olduğunu göstererek kurulur.

— Jed Brown