Sert ODE sisteminin tanımı

ODE sistemi için bir IVP düşünün $y'=f(x,y)$ , $y(x_0)=y_0$ . Bu iş en yaygın sorun olarak kabul edilir katı zaman Jacobi matris $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$sahipher ikiçok küçük negatif gerçek kısmı ile çok büyük negatif gerçek parçanın ve özdeğerler (sadece sabit bir durumda dikkate) ile öz.

Öte yandan, sadece bir denklem durumunda, örneğin Prothero-Robinson denklemi $y'=\lambda y + g'+\lambda g$ , olduğunda sert olarak adlandırılır $\lambda\ll -1$.

Yani iki soru var:

1. ODE sistemleri için sertlik tanımına neden küçük özdeğerler dahildir? Sistemin sert olması için sadece çok büyük negatif gerçek parçaların varlığının yeterli olduğuna inanıyorum, çünkü bu açık yöntemler için küçük zaman aralıklarını kullanmamızı sağlıyor.

2. $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

Tamam, soruyu değiştirelim. İki adet iki boyutlu doğrusal ODE sistemi düşünün: ilki {-1000000, -0.00000001} özdeğerlerine, ikincisi {-1000000, -999999} özdeğerlerine sahip. Bana gelince, ikisi de sert. Ancak sertlik oranı tanımını dikkate alırsak, ikinci sistem değildir. Ana soru: neden sertlik oranı dikkate alınır?

Ve sorunun ikinci kısmı hala önemlidir, şunu açıklayalım: Büyük negatif özdeğerleri ve hafif sertlik oranı (örneğin 100'den büyük olmayan) olan "doğal" büyük bir ODE sistemi arıyorum.

Sertlik, bazı ölçeklerin ayrılmasını içerir. Genel olarak, sistemdeki en hızlı modun fazıyla ilgileniyorsanız, o zaman onu çözmeniz gerekir ve sistem sert değildir. Ancak sık sık, yavaş manifolddan çıkan bir çözümün ona yaklaştığı kesin hızdan ziyade "yavaş manifold" un uzun vadeli dinamikleriyle ilgileniyorsunuz.

Kimyasal reaksiyonlar ve reaksiyon akışları, sert sistemlerin yaygın örnekleridir. Pol osilatör der van ayarlanabilir bir sertlik parametrenin yeni sahiptir ODE entegratörleri için ortak bir kriter sorundur.

Okyanus belki de görselleştirmeye yardımcı olan başka bir örnektir. Tsunamiler (yüzey yerçekimi dalgaları) bir uçağın hızında seyahat eder ve karmaşık dalga yapısı üretir, ancak uzun zaman ölçeklerinde dağılır ve çoğunlukla okyanusun uzun vadeli dinamikleri için önemsizdir. Eddies veya diğer yandan, oldukça yaya hızlarında yaklaşık 100 kat daha yavaş seyahat eder, ancak ilgili karıştırma ve taşıma sıcaklığı, tuzluluk ve biyojeokimyasal izleyicilere neden olur. Ancak bir yüzey yerçekimi dalgasını yayan aynı fizik aynı zamanda bir girdabı (yarı denge yapısı) destekler, böylece girdap hızı, Coriolis altındaki yol ve dağılım hızı yerçekimi dalga hızına bağlıdır. Bu, sert sistemler için yerçekimi dalgasının zaman ölçeğini aşmak ve sadece ilgili dinamik zaman ölçeklerini çözmek için tasarlanmış bir zaman entegrasyonu şeması için bir fırsat sunar. GörmekMousseau, Knoll ve Reisner (2002) bu problemin bölünmesi ve tamamen örtük zaman entegrasyon planlarının karşılaştırılması ile tartışılması için verilmiştir.

İlgili: Hiperbolik PDE'lerin entegrasyonunda örtük yöntemler ne zaman kullanılmalıdır?

Ayrık sistemdeki en hızlı zaman ölçeği ağa bağımlıdır, ile ölçeklendirilir , ancak ilgili fiziğin zaman ölçeği ağdan bağımsız olduğu için yaygın süreçlerin genellikle sert olduğu kabul edilir . Aslında, belirli bir ağ için en hızlı zaman ölçekleri, daha uzun uzamsal ölçeklerin geliştiği daha yavaş manifoldda uzamsal olarak yerel gevşemeyi temsil eder, bu nedenle örtük yöntemler, en hızlı ölçekleri çözmemesine rağmen güçlü normlarda bile çok doğru olabilir.$(\Delta x)^2$

Bölüm 1

Küçük özdeğerler, ODE (başlangıç ​​değer problemi) sistemleri için sertlik tanımına dahil edilmemiştir . Bildiğim sertliğin tatmin edici bir tanımı yok, ancak karşılaştığım en iyi tanımlar:

Herhangi bir başlangıç ​​koşuluna sahip bir sisteme sonlu mutlak kararlılık bölgesine sahip sayısal bir yöntem, belirli bir entegrasyon aralığında, o aralıktaki kesin çözeltinin pürüzsüzlüğüne göre aşırı derecede küçük bir adım uzunluğunda kullanılmaya zorlanırsa sonra sistemin o aralıkta sert olduğu söylenir. (Lambert, JD (1992), Sıradan Diferansiyel Sistemler için Sayısal Yöntemler , New York: Wiley.)

$[0,b]$

Sert denklemler, bazı örtük yöntemlerin, özellikle BDF'nin, açık olanlardan daha iyi, genellikle çok daha iyi performans gösterdiği denklemlerdir. (CF Curtiss ve JO Hirschfelder (1952): Sert denklemlerin entegrasyonu. PNAS, cilt 38, sayfa 235-243)

Sert denklemlerle ilgili Wikipedia makalesi Lambert'e aşağıdaki "ifadeleri" atfetmeye devam ediyor:

1. Tüm özdeğerlerinin negatif gerçek kısmı varsa ve sertlik oranı büyükse doğrusal sabit katsayı sistemi serttir.

2. Sertlik, doğruluktan ziyade stabilite gereksinimleri adım uzunluğunu sınırladığında ortaya çıkar. [Bu gözlemin aslında Ascher ve Petzold'un tanımı olduğunu unutmayın.]

3. Sertlik, çözeltinin bazı bileşenleri diğerlerinden daha hızlı bozulduğunda ortaya çıkar.

Bu gözlemlerin her birinin karşı örnekleri vardır (kuşkusuz başımın üstünden bir tane üretemedim).

Bölüm 2

Muhtemelen karşılaşabileceğim en iyi örnek, kimyasal kinetiklere her türlü büyük yanma reaksiyon sistemini ateşleme ile sonuçlanan koşullar altında entegre etmektir. Denklemler sistemi ateşlenene kadar sert olacak ve daha sonra sistem ilk geçici geçişi geçtiği için sert olmayacak. En büyük / en küçük özdeğer oranı, ateşleme olayı dışında büyük olmamalıdır, ancak bu tür sistemler aşırı katı entegrasyon toleransları ayarlamadığınız sürece sert entegratörleri karıştırmaya eğilimlidir.

Hairer ve Wanner'ın kitabı da ilk bölümünde (Bölüm IV, bölüm 1) sert denklemlerin diğer birçok örneğini gösteren başka örnekler de veriyor. (Wanner, G., Hairer, E., Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü II: Sert ve Diferansiyel-Cebirsel Problemler (2002), Springer.)

Son olarak, CW Gear'ın gözlemini belirtmeye değer:

Bu yaygın olmakla birlikte denklemi, "sert diferansiyel denklemler" bahsetmek başına bazı bölgelerde katı, sert olabilir denklemi için belirli bir başlangıç değer sorun değildir, ancak bu bölgelerinin boyutlarının başlangıç değerlerine bağlıdır ve hataya dayanıklılık. (CW Gear (1982): Salınımlı ve / veya katı diferansiyel denklemlerin otomatik tespiti ve tedavisi. İçinde: Diferansiyel denklemlerin sayısal entegrasyonu, Math., Cilt 968, s. 190-206 ders notları.)

Aslında Jed Brown benim için soruyu sildi. Şu an yaptığım sadece sözlerini bağlama koymak.

1. Yukarıdaki her iki 2d doğrusal ODE sistemi göreceli büyük zaman aralıklarında (örn. [0,1]) serttir (yani açık yöntemlerle çözülmesi zordur).

2. Büyük sertlik oranına sahip lineer sistemler "daha sert" olarak kabul edilebilir, çünkü büyük olasılıkla bunları büyük zaman aralıklarına entegre etmek gerekir. Bu, en küçük özdeğerlere karşılık gelen yavaş bileşenlerden kaynaklanır: çözelti yavaşça sabit duruma eğilimlidir ve bu kararlı duruma ulaşmak genellikle önemlidir.

3. Öte yandan, küçük sertlik oranına sahip sistemlerin geniş aralıklarla entegrasyonu ilgi çekici değildir: bu durumda kararlı duruma çok hızlı ulaşılır ve sadece onu tahmin edebiliriz.

Bu tartışma için herkese teşekkürler!

Özdeğerlerin mutlak büyüklüğünün (doğrusal, özerk bir problemde) tek başına hiçbir anlamı yoktur; sorunu ifade etmeyi seçtiğiniz birimlerin bir yapaylığıdır.

Yorum zinciri kontrolden çıkıyor, bu yüzden bunu bir cevap haline getiriyorum. Bütün soruyu cevaplamayacağım; Dediğim gibi wikipedia veya diğer cevaplar burada. Ben sadece şu cevaba cevap veriyorum

İki adet iki boyutlu doğrusal ODE sistemi düşünün: ilki {-1000000, -0.00000001} özdeğerlerine, ikincisi {-1000000, -999999} özdeğerlerine sahip. Bana gelince, ikisi de sert. Ancak sertlik oranı tanımını dikkate alırsak, ikinci sistem değildir. Ana soru: neden sertlik oranı dikkate alınır?

Tamam, ikinci durumun bir örneğini ele alalım:

$t^* = 1000000\cdot t$

Not 1: Tamamen açık hale getirmek için çapraz bir sistem seçtim, ancak bu özdeğerlere sahip başka bir sistemle denerseniz, aynı etkiyi görürsünüz, çünkü bir matrisi bir sabitle çarpmak özdeğerlerini aynı sabitle çarpar.

$|\lambda|\gg1$