Bir fonksiyonun örneklerinden Taylor serisi katsayılarını tahmin etme

10

Diyelim ki miktar gürültü ile örneklenmiş fonksiyonunun bir Taylor serisi genişlemesi ile yaklaşık olarak ölçülebilen ölçümleri var . Ölçümlerimdeki bu genişleme için katsayıları tahmin etmenin kabul edilmiş bir yolu var mı? $y = y(x)$ $x_i$

Verileri bir polinoma sığdırabilirim, ama bu doğru değil, çünkü bir Taylor serisi için, x = 0 gibi bir merkez noktaya yaklaştıkça yaklaşım daha iyi olmalı, sadece bir polinomu takmak her noktaya eşit davranır.

Genişletme noktamdaki çeşitli türev siparişlerini de tahmin edebilirim, ancak daha sonra filtreleri hangi farklılaştırıcıların kullanacağı ve her biri için kaç filtre katsayısı olduğuna karar vermeliyim. Farklı türevlerin filtrelerinin bir şekilde birbirine uyması gerekir mi?

Peki bunun için belirlenmiş yöntemleri bilen var mı? Bildiriler veya bildirilere yapılan göndermeler takdir edilecektir.

AÇIKLAMA

Aşağıdaki yoruma yanıt olarak, örneklemim, bantla sınırlı olmayan ancak güçlü yüksek frekanslı bileşenlere sahip olmayan sonsuz bir işlevden dikdörtgen bir penceredir. Daha spesifik olmak gerekirse, tahmin edicinin bir parametresinin (altta yatan dokunun deformasyon veya gerilme seviyesi) bir fonksiyonu olarak bir tahmin edicinin (tıbbi ultrason sinyalinde yer değiştirmeyi ölçme) varyansını ölçüyorum. Deformasyonun bir fonksiyonu olarak varyans için teorik bir Taylor serim var ve bunu simülasyondan aldığım şeyle karşılaştırmak istiyorum.

Benzer bir oyuncak örneği şöyle olabilir: diyelim ki, x cinsinden aralıklarla örneklenmiş bir miktar gürültü eklenmiş olarak ln (x) gibi bir fonksiyonunuz var. Gerçekten hangi fonksiyon olduğunu bilmiyorsunuz ve Taylor serisini x = 5 civarında tahmin etmek istiyorsunuz. Bu nedenle, ilgilendiğiniz noktanın etrafındaki bir bölge için işlev düzgün ve yavaşça değişir (örneğin 2 <x <8), ancak bölge dışında mutlaka hoş değildir.

Cevaplar yardımcı oldu ve bir tür en küçük kareler polinom uyumu muhtemelen gidilecek yoldur. Bununla birlikte, tahmini bir Taylor serisini normal bir polinom uyumundan farklı yapan şey, daha yüksek dereceli terimleri tıraş edebilmeniz ve polinomun başlangıçtaki noktanızla ilgili daha küçük bir aralıkta hala orijinal işleve yaklaşık olarak sahip olabilmenizdir.

Bu yüzden belki de yaklaşım, yalnızca başlangıç noktasına yakın olan verileri kullanarak doğrusal bir polinom uyumu yapmak, ardından biraz daha fazla veriyle kuadratik uyumu, bundan biraz daha fazlasını kullanarak kübik vb.

noise estimators approximation

— Mat
kaynak

Bazı sorular (ilgili olabilir veya olmayabilir): Örnekleme ile, işlevin bazı Fs / 2 frekansının altında bantla sınırlı olduğunu / sınırlı olduğunu mu kastediyorsunuz? Örnekleriniz sonsuz fonksiyon, tekrar fonksiyon veya tam fonksiyonun dikdörtgen bir penceresi midir?

— hotpaw2

Dilip'in cevabında belirttiği gibi, Taylor serisi genişlemesi kullanmak, tüm örnek noktalarında işlevin türevi hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirir. Teorik ifadenizi türevleri için kullanabileceğinizi düşünüyoruz , ancak bu teorinizi doğrulamak için bağımsız bir simülasyon kullanmanın faydasını bir miktar azaltıyor. Taylor serisi davranışını daha üst düzey terimlere göre en iyi şekilde taklit etmek için, polinom uyuşlarının farklı düzenlerini kullanarak önerdiğiniz gibi bir yaklaşım yararlı olabilir.

y (x)

$y(x)$

— Jason R

8

Tam polinom fitting yerine , fit ve ölçülen çiftleri arasındaki toplam kare hatasını en aza indiren belirtilen düzenin polinomunu bulan en küçük kareler . Bu, gürültünün uyum üzerindeki etkilerini azaltmaya yardımcı olabilir. $(x_i,y_i)$

Verilen ölçümler bir fonksiyonu de alan değerleri ( ), bir çok terimli sırasını seçmek (eğer , o zaman tam olarak aşağı konum polinom yerleştirmesine olarak noktaları benzersiz bir belirleme inci polinom). Ardından, istenen polinom katsayılarında doğrusal olan bir denklem sistemi : $y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

En küçük kareler problemi, ölçümleri matris-vektör formunda düzenleyerek çözülebilir:

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

En küçük kareler çözümü , yukarıdaki doğrusal sistemdeki toplam kare hatasını en aza indiren polinom katsayıları . Çözelti şu şekilde hesaplanabilir: $\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

Bu matris kayda değerdir olarak da bilinir pseudoinverse matris . Daha sonra polinomu istediğiniz diğer değerlerinde değerlendirmek için en küçük kareler polinom katsayısı vektörü kullanabilirsiniz . $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— Jason R
kaynak

1

Eşit aralıklı apsislerde, bu verilerinize Savitzky-Golay yumuşatma uygulamaktan farklı değildir.

Artı 1 güzel bir cevap için. LSE gerçekten her yerde bulunur.

— Tarin Ziyaee

6

Şimdilik gürültüyü yoksay.

Verilen puan söylemek gibi farklı sayılar, sen, bir çok terimli sığabilecek , en fazla derece bu noktalardan. Örneğin, Lagrange enterpolasyonu bunun için standart bir yöntemdir. Ancak, nokta bir eğrinin aslında olduğuna inanılmaktadır burada (örneğin, bu olabilir mutlaka bir polinom değildir veya vb.) ve işlevi için Taylor serisini bulmak istersiniz . civarında için Taylor serisini geliştirmek $n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ , diyelim ki, değeri ile türevlerinin değerleri hakkında bilgi gerektirir de , bilinmektedir ki tüm süre değerleri olan en puan . Bile bazıları için ve böylece bilinmektedir, yine de gerekli olan tahmin için $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

Bir fonksiyon türevlerinin değerini tahmin en olduğu değerler arasından sayısal analiz iyi incelenmiş bir sorun, ve formüller kullanılmak üzere seçilen noktalarda olduğu kolaylıkla temin edilebilir. Nedir olup , bu formülleri ile elde edilir, yani ayrıntılı olarak tarif edildiği gibi veya daha yaygın olarak, bu formüllerin civardaki belirtilmeyen bir polinom montaj bilinen noktalara ve tahmin olarak . Başka bir yol dene, $g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

Gönderen puan ait , biz Taylor serisi geliştirebilir sadece yukarı derecesi dönemi için ve kesilmiş Taylor serisi sadece , noktalarına takılan polinom . $n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

Peki, bir polinomu takmak ne demektir? Standart uyum, gürültü olmadığında iyi çalışan Lagrange enterpolasyonudur, noktaları eşit aralıklıdır ve , medyan değeridir . Gürültü varsa, derecesinde bir polinomun en küçük kareler sığması ( ayrıntılar için JasonR tarafından verilen cevaba bakınız) genellikle daha iyidir ve civarında doğruluğu vurgulamak istiyorsak , ağırlıklı en az fit kareler kullanılabilir. Hata terimlerinin yakınındaki noktalardan uzaktaki hata terimlerinden daha fazla ağırlıklandırılması, küçültme algoritmasını yakınında daha iyi uyum sağlamaya zorlar $x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ çok daha düşük doğruluk pahasına . Tabii ki, farklı bir ağırlıklandırma (veya ağırlıksızlık) tercih eden muhaliflere karşı ağırlıklandırma fonksiyonu seçimini de savunmak zorundadır. $0$

Örnek: puan verildiğinde , Lagrange enterpolasyon formülü ; burada ve katsayıları "üç Tablo Abramowitz'de ve Stegun en 25.2 verilen ", birinci ve ikinci türevi için, formüller -Point Matematik fonksiyonları Handbook, olup, Lagrange interpolasyon formülü olan bir işlev için kesilmiş Taylor serisi bu şekilde . $3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— Dilip Sarwate
kaynak