Gerçek hayatta bağımsız ve ilişkisiz verilere örnekler ve bunları ölçme / tespit etme yolları

Biz her zaman bu veri vektörünü VS diğer veri vektörünün birbirinden bağımsız olduğunu ya da ilişkisiz olduğunu duyuyoruz ve bu iki kavramla ilgili matematiğe rastlamak kolay olsa da, bunları gerçeklerden örneklere bağlamak istiyorum. ve aynı zamanda bu ilişkiyi ölçmenin yollarını bulur.

Bu açıdan, aşağıdaki kombinasyonlardan iki sinyalin örneklerini arıyorum: (bazılarıyla başlayacağım):

Bağımsız VE (zorunlu olarak) ilişkisiz iki sinyal:
- Konuşurken bir araba motorundan gelen ses ( ) ve sesiniz ( ). $v_1[n]$ $v_2[n]$
- Her gün nem kaydı ( ) ve dow-jones endeksi ( ). $v_1[n]$ $v_2[n]$

S1) Elindeki bu iki vektörle bağımsız olduklarını nasıl ölçebilir / kanıtlayabilirsiniz? Bağımsızlığın, pdf'lerinin ürününün ortak pdf'lerine eşit olduğu anlamına geldiğini biliyoruz ve bu harika, ancak eldeki bu iki vektörle, bağımsızlığını nasıl kanıtlıyor?

Bağımsız DEĞİL, ancak yine de ilişkisiz iki sinyal:

S2) Burada herhangi bir örnek düşünemiyorum ... bazı örnekler ne olurdu? Bu tür iki vektörün çapraz korelasyonunu alarak korelasyonu ölçebileceğimizi biliyorum, ancak bunların bağımsız olmadıklarını nasıl kanıtlarız?

İlişkili iki sinyal:
- Ana salonda opera şarkıcısının sesini ölçen bir vektör, , biri binanın içindeki bir yerden sesini kaydederken, prova odasında ( ) diyelim . $v_1[n]$ $v_2[n]$
- Aracınızdaki kalp atış hızınızı sürekli olarak ölçtüyseniz ( ) ve ayrıca arka camınıza ( ) çarpan mavi ışıkların yoğunluğunu ölçtüyseniz ... ... :-) $v_1[n]$ $v_2[n]$

S3) q2 ile ilgili, ancak bu ampirik açıdan çapraz korelasyonun ölçülmesi durumunda, bu vektörlerin nokta ürününe bakmak yeterli mi (çünkü bu onların çapraz korelasyonunun zirvesindeki değer)? Çapraz düzeltme fonksiyonundaki diğer değerleri neden önemsiyoruz?

Tekrar teşekkürler, daha fazla örnek sezginin oluşturulması için daha iyi verilir!

cross-correlation independence

— kafası karışmış
kaynak

@DilipSarwate Teşekkür Dilip, bir göz atacağım. Şimdilik bazı örnekler iyi olurdu.

— Spacey

İyi yapılandırılmış bir anketin bile herkesin nasıl oy kullanacağını ve aynı nedenlerle "kanıtlayamadığını" aynı şekilde bağımsız olduklarını "kanıtlayamazsınız".

— Jim Clay

@JimClay 'Kanıt' ölçütünü rahatlatmaktan çekinmeyin - almaya çalıştığım şey bağımsızlığı ölçmenin / ölçmenin yoludur. Bunu sık sık duyuyoruz ve bu yüzden bağımsız olmak, bunu nasıl biliyorlar? Hangi ölçüm bandı kullanılıyor?

— Spacey

cros korelasyonunun analiz amaçlı iki analog sinyal için yüksek çözünürlüklü ve düşük çözünürlüklü diğer için kullanılabilir olup olmadığını bilmek istiyorum.

Bazı rastgele değişken varsa X ve 2 sinyallerini oluşturmak bir ** = (x) ve ** b ** = ile (x) ve ortogonal ve **, x = a + b olarak $f_1$ $f_2$ $f_1$ $f_2$ . Bu, bu sinyallerin bağımsız olduğu anlamına mı gelir? Bu bazı ek koşullar gerektiriyor mu? Bu özellik ilginç olacaktır, çünkü a ve b'nin ortak pdf'sini oluşturmayı önler .

— Mladen

Yanıtlar:

Birkaç unsur ... (Bunun kapsamlı olmadığını biliyorum, daha eksiksiz bir cevap muhtemelen anlardan bahsetmelidir)

İki dağılımın bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için, eklem dağılımlarının marjinal dağılımlarının ürününe ne kadar benzediğini ölçmeniz gerekir . Bu amaçla, dağılımlar arasındaki herhangi bir mesafeyi kullanabilirsiniz. Bu dağılımları karşılaştırmak için Kullback-Leibler sapmasını kullanırsanız, miktarı dikkate alırsınız: $p(x,y)$ $p(x) \times p(y)$

$\int_x \int_y p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} dx dy$

Ve sen ... Karşılıklı Bilgi! Ne kadar düşükse, değişkenler o kadar bağımsızdır.

Daha pratik olarak, bu miktarı gözlemlerinizden hesaplamak için, bir Çekirdek yoğunluk tahmincisi kullanarak verilerinizdeki , , yoğunluklarını tahmin edebilir ve ince bir ızgarada sayısal bir entegrasyon yapabilirsiniz ; ya da verilerinizi bölmelerine niceliklendirin ve ayrık dağılımlar için Karşılıklı Bilgi ifadesini kullanın. $p(x)$ $p(y)$ $p(x, y)$ $N$

İstatistiksel bağımsızlık ve korelasyon hakkındaki Wikipedia sayfasından:

Dağıtım grafikleri

$p(x, y)$ $p(x)$ $p(y)$

Gerçekten de çapraz korelasyon fonksiyonlarının tüm değerlerine bakabileceğiniz durumlar vardır. Örneğin, ses sinyali işlemede ortaya çıkarlar. Aynı kaynağı yakalayan ancak birkaç metreden uzak iki mikrofon düşünün. İki sinyalin çapraz korelasyonu, gecikmelerde mikrofonlar arasındaki mesafenin ses hızına bölünmesine karşılık gelen güçlü bir tepe noktasına sahip olacaktır. Sadece gecikme 0'daki çapraz korelasyona bakarsanız, bir sinyalin diğerinin zaman kaydırmalı bir versiyonu olduğunu görmezsiniz!

— pichenettes
kaynak

p (x, y)

$p(x,y)$

p(x}

$p(x}$

(devam) 2) Özetlemek gerekirse: Eğer x ve y'nin kovaryans matrisi çapraz ise, o zaman ilişkisizdirler, ancak ille de bağımsız DEĞİLDİR? Bağımsızlığı test etmek, takip sorusu (1) ile ilgili bir sorundu. Bununla birlikte, onların bağımsız olduklarını gösterirsek, elbette kovaryans matrislerinin köşegen olması gerekir. Doğru anladım mı? Gerçek hayatta ölçebileceğim, bağımlı ancak ilişkilendirilmemiş 2 fiziksel sinyale örnek nedir? Tekrar teşekkürler.

— Spacey

x_{n}

$x_n$

y_{n}

$y_n$

N

$N$

p (x, y)

$p(x, y)$

p^{*} (x, y) = \sum_{i} \frac{1}{N} K (x - x_{i}, y - y_{i})

$p^*(x, y) = \sum_i \frac{1}{N}K(x - x_i, y - y_i)$

K

$K$

(x_{n}, y_{n})

$(x_n, y_n)$

p^{*} (x, y) = \frac{C}{N}

$p^*(x, y) = \frac{C}{N}$

C

$C$

(x, y)

$(x, y)$

"Bağımlı olacak, ancak ilişkilendirilemeyen 2 fiziksel sinyal": Diyelim ki bir NY kabinin GPS'ini konumunun (enlem, boylam) geçmişini kaydetmek için hackledik. Lat için iyi bir şans var., Uzun. veriler ilişkilendirilmeyecektir - nokta bulutunun ayrıcalıklı bir "yönlendirmesi" yoktur. Fakat bu pek bağımsız olmayacaktır, çünkü eğer kabinin enlemini tahmin etmeniz istenirse, boylamı bilseydiniz çok daha iyi bir tahmin yaparsınız (daha sonra bir haritaya bakıp [lat, uzun] binalar tarafından işgal edilen çiftler).

— pichenettes

Başka bir örnek: iki sinüs aynı frekansın tamsayı katında dalgalanır. Boş korelasyon (Fourier temeli ortonormaldir); ancak birinin değerini biliyorsanız, diğerinin alabileceği sadece sınırlı bir değer kümesi vardır (bir Lissajous grafiği düşünün).

— pichenettes

İki sinyalin bağımsız olup olmadığını belirlemek, önceden bilgi / varsayım olmaksızın çok sınırlı (sonlu gözlemler verilir) yapmak zordur.

$X$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $Y$

cov (f_{1} (X), f_{2} (Y)) = E (f_{1} (X), f_{2} (Y)) = 0

$\text{cov}(f_1(X),f_2(Y)) = E(f_1(X),f_2(Y)) = 0$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X

$X$

Y

$Y$

f_{1} (x) = f_{2} (x) = x

$f_1(x) = f_2(x) = x$

$E(X^iY^j)$

$X(t)$ $Y(t)$

S_{X, Y} (f), S_{X^{2}, Y} (f), S_{X, Y^{2}} (f) \dots

$S_{X,Y}(f),S_{X^2,Y}(f),S_{X,Y^2}(f) \dots$

f

$f$

Örnek :

X (t) = \sin (2 π f t)

$X(t) = \sin(2 \pi ft)$

Y (t) = \sin (2 π f t k)

$Y(t) = \sin( 2 \pi ftk)$

k \in Z

$k \in \mathbb{Z}$

k \neq 1

$k \neq 1$

X (t)

$X(t)$

Y (t)

$Y(t)$

\sin (k x)

$\sin(kx)$

\sin (x)

$\sin(x)$

Y (t) = f (X (t))

$Y(t) = f (X (t))$

f

$f$

$X(t)$ $Y(t)$

— rwolst
kaynak

X_{x^{2}, Y} (f)

$X_{x^2, Y}(f)$

X^{2} (t)

$X^2(t)$

Y (t)

$Y(t)$