Bir dalga formunun PDF'sini örneklerinden hesaplamak

Bir süre önce dijital dalga formları çizmek için farklı yollar deniyordum ve denediğim şeylerden biri, genlik zarfının standart silueti yerine, onu bir osiloskop gibi göstermek içindi. Bu, bir sinüs ve kare dalganın bir kapsamda nasıl göründüğüdür:

Bunu yapmanın saf yolu:

1. Ses dosyasını çıkış görüntüsündeki yatay piksel başına bir öbeke bölün
2. Her yığın için örnek genlik histogramını hesaplayın
3. Histogramı, parlak bir piksel pikseli sütunu olarak çizin

Böyle bir şey üretir:

Her yığın için çok sayıda örnek varsa ve sinyalin frekansı örnekleme frekansı ile ilişkili değilse, aksi halde işe yaramazsa bu iyi sonuç verir. Sinyal frekansı örnekleme frekansının tam bir alt sınıfı ise, örneğin, numuneler her döngüde tam olarak aynı genlikte gerçekleşecek ve gerçek yeniden oluşturulan sinyal bu noktalar arasında bulunsa bile, histogram sadece birkaç nokta olacaktır. Bu sinüs atımı yukarıdaki soldaki gibi pürüzsüz olmalıdır, ancak tam olarak 1 kHz olması ve numunelerin her zaman aynı noktalarda meydana gelmesi nedeniyle değildir:

Nokta sayısını artırmak için örneklemeyi denedim, ancak bu sorunu çözmüyor, bazı durumlarda sorunların çözülmesine yardımcı oluyor.

Gerçekten sevdiğim şey , sürekli yeniden oluşturulmuş sinyalin gerçek PDF'sini (olasılık vs genlik) dijital örneklerinden (genlik vs zaman) hesaplamak için bir yol . Bunun için hangi algoritmayı kullanacağımı bilmiyorum. Genel olarak, bir fonksiyonun PDF'si, ters fonksiyonunun bir türevidir .

Günah PDF'si (x): $\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Fakat bunun tersinin çok değerli bir fonksiyon olduğu dalgalar için nasıl hesaplanacağını ya da nasıl hızlı yapılacağını bilmiyorum. Bölmek dalları ve her tersini hesaplamak, türev almak ve hepsini buluşmanızı özetlemek? Ama bu oldukça karmaşık ve muhtemelen daha basit bir yol var.

Bu "enterpolasyonlu verilerin PDF'si", bir GPS izinin çekirdek yoğunluğu tahminini yapmak için yaptığım bir girişim için de geçerlidir. Halka şeklinde olması gerekirdi, ancak sadece numunelere baktığından ve numuneler arasındaki enterpolasyon noktaları göz önüne alınmadığından, KDE halkadan çok kambur gibi görünüyordu. Numunelerin hepsi bildiğimiz kadarıyla yapabileceğimiz en iyi şey budur. Fakat örnekler bildiğimiz kadarıyla değil. Ayrıca örnekler arasında bir yol olduğunu biliyoruz. GPS için, sınırsız ses için olduğu gibi mükemmel bir Nyquist rekonstrüksiyonu yoktur, ancak enterpolasyon fonksiyonundaki bazı tahminlerle temel fikir hala geçerlidir.

Orijinal oranın birkaç katına enterpolasyon yapın (örneğin 8x fazla örneklenmiş). Bu, parçalı bir lineer sinyal almanızı sağlar. Bu sinyalin sonsuz çözünürlüğü, dalga şeklinin sürekli sin (x) / x enterpolasyonu ile karşılaştırıldığında çok az hata olacaktır.

Her aşırı örneklenmiş değer çiftinin bir değerden diğerine sürekli bir çizgiye sahip olduğunu varsayalım . Arasındaki tüm değerleri kullanın . Bu, isteğe bağlı bir çözünürlükte PDF olarak biriktirmeniz için y1'den y2'ye bir ince yatay dilim verir. Her bir dikdörtgen olasılık dilimi, 1 / ns örnek alana ölçeklendirilmelidir.

Numunelerin kendileri yerine numuneler arasındaki çizginin kullanılması, örnekleme periyodu ile dalga formu arasında temel bir ilişki olduğu durumlarda bile "spikey" bir PDF'yi önler.

Ben esas olarak Jason R’ın “rasgele örnekleyici” olduğunu düşünüyorum, bu da yoda'nın stokastik örneklemesinin örneklenmiş sinyal tabanlı bir uygulamasıdır.

Her iki örnek arasında basit bir kübik enterpolasyon kullandım. İlkel bir sentezleme sesi için (doymuş, bantsız, sınırsız kare benzeri bir sinyalden + hatta bir sinyale harmonikten) azalan şuna benzer:

Bunu daha yüksek örneklenmiş bir sürümle karşılaştıralım,

ve tuhaf olanı aynı örnekleme oranıyla fakat enterpolasyonu yok.

Bu yöntemin kayda değer bir esası, kare benzeri alandaki aşmadır, ancak bu aslında sinc filtrelenmiş sinyalin PDF'sinin (dediğim gibi, sinyalim bant sınırsız değildir) algılanan ses yüksekliğini daha iyi görmesi ve algılamasıdır. Bu bir ses sinyali olsaydı, zirvelerden daha.

Kod (Haskell):

cubInterpolate vll vl v vr vrr vrrr x
    = v*lSpline x + vr*rSpline x
      + ((vr-vl) - (vrr-vll)/4)*ldSpline x
      + ((vrr-v) - (vrrr-vl)/4)*rdSpline x
     where lSpline x = rSpline (1-x)
           rSpline x = x*x * (3-2*x)
           ldSpline x = x * (1 + x*(x-2))
           rdSpline x = -ldSpline (1-x)

                   --  rand list   IN samples  OUT samples
stochasticAntiAlias :: [Double] -> [Double] -> [Double]
stochasticAntiAlias rs (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:[]) = []
stochasticAntiAlias (r:rLst) (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)
    = ( cubInterpolate lsll lsl lsc lsr lsrr lsrrr r )
          : stochasticAntiAlias rLst (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)

rand list [0,1] aralığında rastgele değişkenlerin bir listesidir.

Yaklaşımınız teorik olarak doğru olmakla birlikte (ve monotonik olmayan işlevler için biraz değiştirilmeye ihtiyaç duyar), genel bir işlevin tersini hesaplamak çok zordur. Söylediğiniz gibi, şube noktaları ve şube kesintileri ile başa çıkmak zorunda kalacaksınız, ancak bunu ciddiye almak istemezsiniz.

Daha önce de bahsettiğiniz gibi, düzenli örnekleme örnekleri aynı nokta kümesini temsil eder ve bu nedenle örnekleme yapılmayan bölgelerdeki (Nyquist kriterini yerine getirse bile) kötü tahminlere karşı oldukça hassastır. Bu durumda, daha uzun süre örnekleme de yardımcı olmaz.

Genel olarak, olasılık yoğunluğu fonksiyonları ve histogramları ele alırken, stokastik örnekleme açısından düşünmek çok daha iyi bir fikirdir. normal örneklemeden (giriş için bağlantılı cevaba bakınız). Stokastik örnekleme yaparak, her noktanın "vurularak" eşit olma olasılığına sahip olmasını ve pdf'yi tahmin etmenin çok daha iyi bir yolu olmasını sağlayabilirsiniz.

$f(x)=\sin(20\pi x) + \sin(100\pi x)$$f_s=1000$$f_N=100$$1000$ saniyede örnekler (homojen dağılım) (burada Hz kullanmıyorum, çünkü bu farklı bir anlam ifade ediyor) 30 saniye boyunca sağdaki arsa (aynı bindirmeyi) veriyor.

Gürültülü olmasına rağmen, asıl PDF'ye sağdaki, birkaç aralıktaki sıfırları ve diğer bazılarındaki büyük hataları gösteren yaklaşımdan çok daha iyi bir yaklaşım olduğunu kolayca görebilirsiniz. Daha uzun bir gözlem süresine sahip olarak, sağdaki bir varyansı azaltabilir, sonunda büyük gözlemler sınırındaki tam PDF'ye (kesikli siyah çizgi) yakınlaşabilirsiniz.

Çekirdek Yoğunluğu Tahmini

Bir dalga formunun PDF'sini tahmin etmenin bir yolu, bir çekirdek yoğunluğu tahmincisi kullanmaktır .

$x(n)$$K(\mathrm{x})$$\delta(\mathrm{x} - x(n))$$\hat{P}$

Güncelleme: İlginç ek bilgiler.

$x(n)$$n= 0,1,...,N-1$$X(k)$

$X(k)$$e^{\jmath 2\pi n k /N}$

Öyleyse, bir sonraki Fourier bileşeninin tüm PDF'lerini birlikte hazırlamak için ne olacağınıza dair bir tahmin yapın :

$X(k)$$x(n)$

Yine de daha fazla düşünce gerekli!

Yorumlarınızdan birinde belirtildiği gibi, yeniden oluşturulan sinyalin histogramını yalnızca örnekleri ve bantsız sinyalleri enterpoze eden sinc fonksiyonunun PDF'sini kullanarak hesaplayabilmek cazip olacaktır. Ne yazık ki, bunun mümkün olduğunu sanmıyorum çünkü sinc'in histogramı sinyalin kendisinde olan tüm bilgilere sahip değil; Her bir değerin karşılaştığı zaman alanı pozisyonları ile ilgili tüm bilgiler kaybedilir. Bu, sincin ölçeklendirilmiş ve zaman gecikmeli versiyonlarının nasıl toplanacağını modellemeyi imkansız kılar, yani sinyalin "sürekli" veya yukarı örneklenmiş versiyonunun histogramını fiili olarak yapmadan hesaplamak için ne isteyeceksiniz? yukarı örnekleme.

En iyi seçenek olarak enterpolasyondan ayrıldığınızı düşünüyorum. Bu konuyu istemenizi önleyen birkaç konuyu belirttiniz, bence çözülebilir:

• Hesaplama gideri: Bu, elbette, bunu kullanmak istediğiniz özel uygulamaya bağlı olarak her zaman göreceli bir sorundur. Topladığınız render galerisine gönderdiğiniz bağlantıya dayanarak, bunu ses sinyallerinin görselleştirilmesi için yapmak istediğinizi farz ediyorum. Gerçek zamanlı veya çevrimdışı bir uygulama için bu konuyla ilgileniyor olsanız da, verimli bir enterpolatör prototiplemenizi ve gerçekten çok pahalı olup olmadığını görmenizi öneririm. Çok fazlı yeniden örnekleme , esnek yapmanın iyi bir yoludur (herhangi bir rasyonel faktörü kullanabilirsiniz).

• $\pi$

Histogramı düzleştirmeniz gerekir (bu, bir çekirdek yöntemi kullanmakla aynı sonuçları verir). Tam olarak pürüzsüzleştirmenin nasıl yapılması gerektiğinin denenmesi gerekir. Belki enterpolasyon ile de yapılabilir. Düzeltme işlemine ek olarak, dalga biçiminizi örnekleme frekansının girişinizdeki en yüksek frekanstan “önemli ölçüde yüksek” olacak şekilde örneklendirirseniz gelişmiş sonuçlar alacağınıza inanıyorum. Bu, sinüs dalgasının örnekleme frekansıyla ilgili olduğu “zor” durumda, histogramdaki sadece birkaç bölmenin doldurulacağı şekilde yardımcı olmalıdır. Aşırı alındığında yeterince yüksek bir örnekleme oranı yumuşatmadan size güzel araziler vermelidir. Bu nedenle, bir çeşit yumuşatma ile birleştirilmiş örnekleme daha iyi grafikler vermelidir.

Grafiğin beklediğiniz gibi olmadığı bir 1kHz ton örneğini veriyorsunuz. İşte teklifim (Matlab / Octave kodu)

pixels_vertical = 100;
% This needs to be tuned to your configuration and acceptance
upsampling_factor = 16*(pixels_vertical/100); 
fs_original = 48000;
fsine = 1000; % in Hz
fs_up = upsampling_factor*fs_original;
duration = 1; % in seconds
x = sin(2*pi*fsine*[0:duration*fs_up]/fs_up);
period_in_samples = fs_up/fsine;
hist_points = linspace(-1,1,pixels_vertical);
istart = 1;
iend   = period_in_samples;
pixel_values = hist(x(istart:iend), hist_points);
% smooth pixel values
[b,a] = butter(2,0.2);
pixel_values_smooth = filtfilt(b,a,pixel_values);
figure;hold on;
plot(hist_points, pixel_values);
plot(hist_points, pixel_values_smooth,'r');

1000Hz tonunuz için bunu

Yapmanız gereken, upsampling_factor ifadesini tercihinize göre ayarlamaktır.

Hala% 100 tam olarak ihtiyaçlarınızın neler olduğundan emin değil. Fakat yukarıdaki örnekleme ve yumuşatma prensibini kullanarak bunu 1kHz tonu (Matlab ile yapılan) için alacaksınız. Ham histogramda, sıfır isabetli birçok kutu olduğunu unutmayın.