1D Sinyalin Konvolüsyon Sorunu Çözme

Bu egzersizi çözmeye çalışırken sorun yaşıyorum. Bu sinyalin evrişimini hesaplamak zorundayım:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

burada Heavyside fonksiyonudur $u(t)$

bu iki sinyalin evriğinin eşit olduğunu söyleyen formülü uyguladım.

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

burada birinci sinyalin Fourier dönüşümüdür ve ikinci sinyalin Fourier dönüşümüdür $X(f)$ $W(f)$

iyi Fourier dönüşümü olan $e^{-kt}u(t)$

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

için mümkün olduğunca eşit ikinci sinyal yapmalıyım $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

bu işlemi yapıyorum:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ bu eşittir

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

doğru mu değil mi?

— Mazzy
kaynak

Bana doğru görünüyor. Bir uyarı- sinc'ın bazı tanımları, yaptığınız gibi parametrelerde pi'yi içerir ve bazıları bunu kabul eder (yani sinc yazmışlardı (t / 10)). Hangisini yaptığınızı anladığınız sürece, ikisi de iyidir.

— Jim Clay

Ayrıca unutmayın ters Fourier dönüşümü arasında

Y (f)

$Y(f)$ aradığınız evrişim sonucudur. Zaman alanındaki konvolüsyon ile frekans alanındaki çarpma arasındaki ikiliği kullanmak, ters dönüşümün zor olması durumunda konvolüsyon sonucunu analitik olarak belirlemenize yardımcı olmaz.

— Jason R

Bunun çok geç bir yanıt olduğunu fark etsem de, yine de bu soruyu cevaplamaya çalışacağım çünkü öğretici buluyorum ve ayrıca yukarı oyların sayısı bu sorunun toplum için genel bir ilgi olduğunu gösteriyor.

Soruda zaten önerildiği gibi, iki sinyal tanımlayalım $x(t)$ ve $w(t)$ gibi

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

Evrişimin olası bir yorumu $(x*w)(t)$ üstel sönümlü bir sinyaldir $x(t)$ impuls tepkisi ile ideal bir düşük geçiş filtresi ile filtrelenir $w(t)$ . Soruda, zaman alanındaki konvolüsyonun frekans alanındaki çarpmaya karşılık geldiği de doğru bir şekilde belirtildi. Fourier integrali $x(t)$ kolayca hesaplanabilir:

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

Fourier dönüşümü $w(t)$ tanıdık olmalıdır çünkü ideal bir düşük geçiş filtresi. Soruda, Sinc fonksiyonunun tanımıyla ilgili bazı karışıklıklar vardı. Kesin frekanslı bir birlik kazancı düşük geçiş filtresinin dürtü yanıtını hatırlamanızı öneririm $\omega_0=2\pi f_0$ Sinc işlevinin tanımlarından herhangi birini kullanmadan:

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

(1) tanımıyla karşılaştırılması $w(t)$ , görüyoruz ki $w(t)$ sadece kesme frekansına sahip bir birlik kazancı düşük geçiş filtresidir $\omega_0=\pi/10$ :

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$ Burada adım işlevini kullandım

u (ω)

$u(\omega)$ frekans alanında.

Zaman fonksiyonunu bulmak için $y(t)=(x*w)(t)$ ters Fourier dönüşümünü hesaplayabilir $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$ :

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

Ne yazık ki, bu integralin temel fonksiyonları kullanarak kapalı bir form çözümü yoktur. Üstel integral kullanılarak sayısal olarak değerlendirilebilir $\text{Ei}(x)$ veya alternatif olarak sinüs ve kosinüs integralleri $\text{Si}(x)$ ve $\text{Ci}(x)$ . Bu yüzden, egzersizin amacının aslında evrişimi hesaplamak olduğunu düşünmüyorum, ancak amacı muhtemelen neler olduğunu nitel olarak tanımlamaktı (ideal bir düşük geçiş filtresi tarafından filtrelenen üstel sinyal).

Yine de sinyale bir göz atmanın öğretici olacağını düşündüm $y(t)$ , bu yüzden parametreleri için sayısal olarak değerlendirdim $k=0.05$ ve $\omega_0=\pi/10$ . Aşağıdaki şekil sonucu göstermektedir: resim açıklamasını buraya girin

Yeşil eğri giriş sinyalidir $x(t)$ ve mavi eğri filtrelenmiş sinyaldir $y(t)$ . (Nedensel olmayan) dalgalanmalara dikkat edin. $y(t)$ için $t<0$ İdeal (nedensel olmayan) düşük geçişli filtrenin neden olduğu. Alçak geçiren filtrenin kesme frekansını arttırırsak, giriş sinyalindeki bozulma daha küçük olmalıdır. Bu, kesme frekansını 10 kat arttırdığım bir sonraki şekilde gösterilmiştir, yani $\omega_0=\pi$ (onun yerine $\pi/10$ ):

resim açıklamasını buraya girin

— Matt L.
kaynak

Belki de daha iyi bir yorum, dürtü yanıtı çürüyen üstel olan fiziksel olarak gerçekleştirilebilir birinci dereceden düşük geçişli bir filtreye uygulanan samimi bir işlev girdisi olabilir mi?

— Dilip Sarwate

Tabii bu başka bir geçerli yorum, ama neden daha iyi? Tamam, sistem gerçekleştirilebilir ancak giriş sinyali alınamaz. İdeal bir alçakgeçiren filtre, gerçekleştirilemese de sıklıkla öğretici amaçlı olarak kullanılan ve analiz edilen standart bir sistemdir. Her neyse, neyse ki sonuç aynı kalır :)

— Matt L.