Hem düşük geçişli filtreleme hem de polinom regresyon düzleştirmesi bir fonksiyonun yaklaşık değerleri olarak görülebilir . Ancak, bunu yapmanın yolları farklıdır. Burada sorulması gereken kilit soru "Birini diğeri açısından yapabilir misin?" ve kısa cevap aşağıda açıklanan nedenlerden ötürü "her zaman değil" dir.
Filtreleme ile yumuşatma yaparken , frekans alanında burada , Ayrık Fourier Dönüşümü'nü (ve tersine ) belirtir . Ayrık Fourier Dönüşümü (örn. ), trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak yaklaşık bir değerini sunar . Zaman bir düşük geçiş filtresi, düşük frekans bileşenlerinin daha az sayıda muhafaza edilir ve ani değişikliklerin düzeltilmesini. Bu , temel fonksiyonlar olarak trigonometrik fonksiyonlar kullanarak fonksiyon yaklaşımı bağlamında düşük geçişli filtrelemeyi ayarlary(n)=x(n)∗h(n)y=F−1(F(x)F(h))FF−1F(x)xhxancak, filtreleme sırasında, y (n) (filtrenin çıktısı) ve ayrıca geçmiş numunelerinin ağırlıklı toplamına (burada ağırlıklandırma tarafından belirlenen ağırlıklandırma ) bağlı olduğuna dikkat etmek için kıvrım formülünü tekrar gözden geçirmeye değer . "şekli" . (elbette IIR filtreleri için de nin geçmiş değerlerinin eklenmesi ile benzer hususlar geçerlidir )x(n)xhy(n)
Yine de bir n-dereceli polinom ile yumuşatırken , interpolantın çıktısı sadece ve (farklı) temel fonksiyonların bir karışımına ( monomiyaller olarak da adlandırılır ) bağlıdır. Bu farklı temel işlevler nelerdir? Bu bir sabiti (var ), bir çizgi ( ), bir parabol ( ) ve benzeri (bakınız Buna güzel bir örnek için). Genellikle, zaman içinde eşit uzaklıktaki örneklerle uğraşırken ve doğrulukla ilgili nedenlerle, Newton'un polinom formu kullanılır.x(n)a0x0a1xa2x2. Bunu belirtmemin nedeni, doğrusal enterpolasyon gerçekleştirirken, düşük dereceli enterpolasyon polinomunun enterpolasyon yapmak için "satırları" kullanması gibi, mevcut örneklerin lineer ağırlıklı toplamını döndüren bir filtre çekirdeği oluşturabileceğinizi görmek kolay olmasıdır. iki numune arasında. Ancak daha yüksek derecelerde, iki yaklaşım yöntemi farklı sonuçlar döndürür (temel işlevlerdeki farklılıklar nedeniyle).
Yukarıda yazdığım gibi, nin geçmiş değerlerini hesaba katmamak katı değildir. Bu ince bir nokta. Çünkü genellikle, bir polinom oluşturulurken verilen aralığın dışındaki değerler (bir sinyalin "geçmiş" ve "geleceği") dikkate alınmaz. Bununla birlikte, türevleri aralığın kenarlarına sabitleyerek bunları dahil etmek mümkündür. Ve eğer bu tekrar tekrar yapılıyorsa (örtüşmeyen bir kayar pencere gibi) etkili bir şekilde, x (n) 'nin "geçmiş örnekleri" dikkate alınacaktır. (Bu spline'ların kullandığı püf noktasıdır ve aslında bisubik enterpolasyon için bir evrişim ifadesi vardır . Bununla birlikte, lütfen yorumunun spline hakkında konuşurken farklı olduğunu unutmayın - normalizasyon hakkındaki noktayı not edin).xx(n)x
Filtrelemenin bazı zamanlarda enterpolasyon olarak kullanılmasının nedeni, örneğin "Sinc İnterpolasyonu" durumunda, fiziksel açıdan da mantıklı olmasıdır. Bant sınırlı bir sistemin (örn. (Doğrusal) bir amplifikatör veya bir optik sistemdeki mercek ) zaman alanında ideal temsili , samimi nabızdır. Bir nabız sinyalinin frekans alanı gösterimi bir dikdörtgen "darbe" dir.. Bu nedenle, çok az varsayımla eksik bir değerin komşularına az çok yakın olmasını bekliyoruz (elbette sınırlar dahilinde). Bu, bazı n-sıralı polinomlarla (daha yüksek n için) gerçekleştirildiyse, eksik bir değerin her zaman gerçekçi olmayabilecek komşularıyla ilişkili olma yolunu "düzeltiriz" (neden ses basıncı değerleri mikrofona vurmak dalga cephesi örneğin şeklinde olacak şekilde sabitlenecek mi? Ses kaynağının her zaman doğru olmayabilecek şekilde nasıl davrandığına dair bir varsayım var. beynin işlenmesini içeren psikofizik bakış açısıyla şema (bkz. Lanczos yeniden örnekleme)x3Örneğin). Kesinlikle biri nesnel olarak eksik değerleri "tahmin etmeye" çalıştığında enterpolasyonun getirdiği kısıtlamalardan bahsediyorum.
Evrensel bir “en iyi yöntem” yoktur, karşılaştığınız enterpolasyon problemine bağlıdır.
Umarım bu yardımcı olur.
PS (İki yaklaştırma yönteminin her biri tarafından üretilen eserler de farklıdır, örneğin, Gibbs Fenomeni ve aşırı uydurma olmasına rağmen, aşırı sığdırma sorunuzun "diğer tarafında" olmasına rağmen).