Kalman tahminlerinin Gauss gürültüsü altında istatistiksel özellikleri

Bağımsız Gauss durumuna ve çıkış gürültülerine ve başlangıç durumu için mükemmel tahminlere sahip doğrusal bir durum uzayı modeli için Kalman tahminlerinin aşağıdaki özelliklere sahip olup olmadığı: nerede

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ zamanındaki durumdur , rastgele $k$
$\hat{x}_{k|k}$ ve Kalman esitmatlarıdır, yani Kalman filtresinin çıktılarıdır. $P_{k|k}$

Bunlardan bahseden referanslar var mı?

Teşekkürler!

kalman-filters

— Tim
kaynak

Is a posteriori zaman olarak tahmin kovaryans matrisi ? Kullanılan standart bir gösterim yoktur, bu yüzden "Kalman tahminleri" ile ne demek istediğinizi tam olarak açık değildir.

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@Jason: evet, bu ...

— Tim

Yanıtlar:

Aşağıdaki iki ifade aşağıdakilere eşittir:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Tahmincinin tarafsız olduğunu ; ve

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Tahmincinin tutarlı olması .

Filtrenin optimal olması için bu koşulların her ikisi de gereklidir - yani, $\mathbf{x}_{k|k}$ bazı kriterlere göre.

(1) doğru değilse, ortalama kare hatası (MSE) sapma artı varyans (skaler durumda) olacaktır. Açık, bu sadece varyanstan daha büyük ve dolayısıyla yetersiz.

(2) doğru değilse (yani, filtre ile hesaplanan kovaryans gerçek kovaryanstan farklıysa), filtre de yetersiz olacaktır. Kalman Kazanımı hesaplanan durum kovaryansına dayandığından, kovaryanstaki bir hata kazançta bir hataya yol açacaktır. Kazançtaki hata, ölçümlerin yetersiz ağırlıklandırılması anlamına gelir.

(Olduğu gibi, düzgün bir şekilde modellenmiş filtre için her iki koşul da geçerlidir. Dinamik model veya gürültü kovaryansları gibi modellemedeki hatalar da filtreyi yetersiz kılar).

Kaynak: Bar-Şalom , özellikle 232-233. Sayfadaki Bölüm 5.4.

— Damien
kaynak

Şunu vurgulamakta yarar var $x_k$ is NOT a random variable. It is the system's state which is deterministic, which is in general, variable in $k$ .

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$ ki buna eşit

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Ayrıca,

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

Ve,

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ ki, verilen

x_{k}

$x_k$ deterministik, aynı zamanda eşit olur

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Arka fon

$x_k$ deterministik olan sistem durumudur. Bu, çoğu literatürde temsil edilen sistem gürültüsünün aksine $w$ varyans ile $Q$ . Dahası, bazı literatür, sistem gürültüsünü bir katsayı matrisi ile modeller; bu durumda $Q$ matrisin yerini $GQG^T$ yayılma tahmininde, $G$ gürültü katsayısı matrisidir. Ayrıntılı olarak, bu durumda sistem temsili şu şekilde verilir:

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Bir referans olarak: Kalman'ın makalesinin kendisi:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
kaynak

Bildiğim kadarıyla

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$ rastgele bir süreçtir. Varyansı

x_{k}

$x_k$ işlem gürültüsü tarafından verilir. Belirli bir gerçekleşme için

x_{k}

$x_k$ belirleyicidir.

— Royi

@ Grafik İşlem sesine genellikle Q değişkeni ile birlikte w sembolü verilir. xk sistem durumudur, durumların rasgele olduğu anlamına gelmez; rasgele bir değişken olarak öteki tahmin mantıklı

— aiao

Kafam karıştı: Nasıl yapabilirim

x_{k + 1}

$x_{k+1}$ eğer belirleyici ol

G w

$Gw$ (hangisi stokastik) oluşturmak için ekleniyor? Tek yol

x_{k + 1}

$x_{k+1}$ Stokastik bileşen sıfır ise, deterministik olabilir mi?

— Peter K.

@PeterK. Çünkü

w

$w$ her seferinde kesin bir gerçekleşme varsayar

k

$k$

— aiao

Kalman'ın kendisi devlet vektörünü stokastik bir değişken olarak görmezken (Sanırım bunu Doucet'a bağlayabilirim, ancak yanlış olabilirim), Kalman Filtresi Bayes Kuralından türetilebilir. Bu örnekte, durum vektörü

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$ . Wikipedia'ya bakın .

— Damien