Doğrusal sistemler neden sinüzoidal doğruluk gösterir?

Sinüsoidal sadakat için bir kanıt arıyorum. DSP'de lineer sistemler hakkında çok çalıştık. Doğrusal sistemler homojen ve katkı maddesidir. Satisifiye ettiği bir başka koşul, bir sinyal sinüs veya cos dalgasıysa, çıkışın sadece faz veya genliği değiştirmesidir. Neden? Bir sinüs dalgası giriş olarak verildiğinde çıkış neden tamamen farklı bir çıkış olamaz?

Diğer cevaplara biraz görsel bir tamamlayıcı

Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler hakkında konuşuyorsunuz.

Üstel fonksiyonlar bir tuhaf özelliğe sahiptir (ve aslında onun tarafından tanımlanabilir): zaman çevirisi yapmak aynı fonksiyonda bir sabit ile çarpılır. Yani

$$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$$

Kırmızı üstel, mavi olanın $e$ veya 1 saniye sağa taşındı

Genel olarak, bu aynı zamanda karmaşık üsleri de kapsar

Aklınızdaki gibi karmaşık bir harmonik planını hayal edebiliyor musunuz? $x(t)=e^{j2\pi t}$? Eğer öyleyse, bir yay gibi göreceksiniz: zaman geçtikçe karmaşık düzlem boyunca döner.

Bu yayın döndürülmesi (birim çemberdeki karmaşık bir sayıyla çarpılması) çevrilmesi ile aynıdır. Muhtemelen hayatınızda bir süredir bu görsel etkiye girdiniz

Herhangi bir standart vidanın prensibi de budur.

Bunu lineer zamanla değişmeyen bir sisteme girdiğimizi varsayalım. Bir çıktı alırsınız$y$ Şimdi, bu yayın döndürülmüş bir versiyonunu girin. Doğrusallık nedeniyle, çıktı$y$aynı miktarda döndürülmüş. Ancak bir dönüş zaman çevirisine eşdeğer olduğundan ve sistem zamanla değişmediğinden, çıktı da$y$aynı miktarda zaman çevrilmiş. Yani,$y$girdiyle aynı özelliği sağlamalıdır: döndürme işlemi belirli bir zaman çevirisine eşdeğer olmalıdır. Bu, yalnızca çıktı orijinal yayın katları olduğunda gerçekleşir.

Ne kadar çeviri? Bu, bir yayla olduğu gibi rotasyonla doğru orantılıdır. Yayın döngüleri ne kadar sıkı olursa (o kadar hızlı döner), belirli bir dönüş için daha az zaman çevirir. Bir vidanın halkaları ne kadar sıkı olursa, tamamen oturması için ne kadar fazla tur yapmanız gerekir. Ve, mermilerin yarısı tamamlandığında, vida içeri doğru yarısı olacak ... Çıktı aynı ilişkiyi yerine getirmek zorunda, yani çıktı yayı$y$ girişle aynı frekansta döner.

Sonunda bir hatırlatma

$$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$$

$$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$$

Üstel olarak gerçekleşen şeyin aslında en genel durumda kosinüs ve sinüslerle gerçekleşmesi gerekmez. Ancak sistem de gerçekse bu farklı bir hikaye ...

Genel olarak, aynı akıl yürütme ile, herhangi bir üstel doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin bir "özfonksiyonudur" (çıktı girdiyle orantılıdır). Bu yüzden bu sistemler için Z-dönüşümleri ve Laplace dönüşümleri çok faydalıdır

Girişli bir sistem düşünün $x(t)$ ve çıktı $y(t)$. Lars1'in cevabından notasyon ödünç alarak, bu ilişkiyi belirtiyoruz $x(t) \to y(t)$. Sistemin, aşağıdaki özellikleri karşılaması halinde doğrusal bir zamanla değişmeyen (LTI) sistem olduğu söylenir :

H. Eğer$x(t) \to y(t)$, sonra $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$.

A. Eğer $x_1(t) \to y_1(t)$ ve $x_2(t) \to y_2(t)$, sonra $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Eğer $x(t) \to y(t)$, sonra $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ herhangi bir gerçek sayı için $\tau$.

Özellikler , H ve bir araya İşletme eşdeğer L

L. ise $x_1(t) \to y_1(t)$ ve $x_2(t) \to y_2(t)$, sonra $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$.

---

Bir zaman içinde değişmez sistemine periyodik giriş periyodik çıkışı üretir
varsayalım$x(t)$periyodlu bir periyodik sinyaldir$T$, yani, $x(t-nT) = x(t)$ tüm tamsayılar için $n$. Ardından, T Mülkünden , hemen$y(t)$ aynı zamanda periyodlu bir periyodik sinyaldir $T$. Böylece, $y(t)$ Fourier serisi olarak:

$$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$$ nerede $\omega = 2\pi/T$ temel frekanstır.

---

Dan beri $\cos(\omega t)$ ve $\sin(\omega t)$ periyodik sinyallerdir, lineer olsun olmasın, herhangi bir zamanla değişmeyen sistem için,

$$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$$ Aslında, için doğrusal zaman değişmez (LTI) sistemleri, her$p_n, q_n, r_n,$ ve $s_n$sıfır haricinde için$p_1, q_1, r_1, s_1$. Bunun neden böyle olduğunu görmek için LTI sisteminin yanıtını hesaplayalım$\cos(\omega t - \theta)$ iki farklı şekilde ve sonuçları karşılaştırın.

Dan beri $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$, Mülkiyet L ve yukarıdaki denklemlerden

$$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$$ Öte yandan, $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$ sadece gecikmeli bir versiyonudur $\cos(\omega t)$, T mülkünden bunu alırız $$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$$ Bu iki Fourier serisi, değeri ne olursa olsun aynı olmalıdır. $\theta$Biz seciyoruz. Katsayıları karşılaştırdığımızda, $p_0/2$ eşit olamaz $(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$ hepsi için $\theta$ olmadıkça $p_0 = r_0 = 0$. Benzer şekilde, herhangi biri için$n > 1$, $p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$ eşit olamaz $p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ vb. herkes için $\theta$ olmadıkça $p_n = q_n = r_n = s_n = 0$. Ancak,$n=1$, $p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$ ima ediyor ki $r_1 = -q_1$ve benzer şekilde, $s_1 = p_1$. Başka bir deyişle, bir LTI sistemi için, $$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$$ Şimdi, $p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$ nerede $B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$ ve $\phi = \arctan(q_1/p_1)$. Bu nedenle, T ve H Özellikleri bize $$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$$ Herhangi bir sinüsoid frekansı$\omega$ rad / s şu şekilde ifade edilebilir: $A\cos(\omega t - \theta)$ uygun seçim için $A$ ve $\theta$ve böylece yukarıdaki sonuç ihtiyacımız olan şey.

Doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin SISO özelliği: Bir LTI sistemine giriş bir sinüzoid ise, çıkış aynı frekansta ancak muhtemelen farklı genlik ve fazda bir sinüzoiddir.

Bu OP'nin istediği sonuç değil - doğrusal bir sistemin (Özellik H ve A'nın (eşdeğer olarak, Mülkiyet L ) sahip olduğu ancak mutlaka Özellik T'nin sahip olduğu bir sistem) SISO özelliğine sahip olduğunu kanıtlamak istedi, ancak gelişme olarak Yukarıda gösterdiği gibi, T periyodu, periyodik girdinin periyodik çıktı ile sonuçlandığı daha zayıf sonucu kanıtlamak için beklemek zorundadır.

---

Son bir yorum olarak, SISO özelliğini kanıtlamak için karmaşık sayılar veya evrişim teoremleri veya Fourier veya LaPlace dönüşümleri, impulslar, özfonksiyonlar vb. Kullanılmasının gerekli olmadığını unutmayın. Bunu L ve * T Özellikleri ve trigonometrik kimlik takip eder.

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$$

İşte ispat fikri. Bir sistemin çıktısını bir evrişim ile tanımlayabileceğimizi varsayalım,

$$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

Dikkat edin fonksiyonu (aka "çekirdek") $k_t(t)$Bunu yazdım burada olabilir değiştirmek olarak$t$değişir. Ancak, genellikle$k_t(t)$- zamanla değişmediği. Buna "doğrusal zaman değişmezliği" denir ( Toeplitz matrislerindeki Wikipedia sayfasına da bakın ). Sistemimiz doğrusal zamanla değişmezse,$k_t$herhangi biri için aynıdır $t$ve böylece aboneliği görmezden gelip yazacağız

$$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

Şimdi diyelim $f(t)$ bir sinüzoid, söyle $f(t) = e^{i\omega t}$. Böylece sahibiz

$$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$$

Son denklemin aşağıdakilere bağımlı olmadığına dikkat edin$t$! Sonuç olarak, tanımlayalım$K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$.

Böylece,

$$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$$

veya başka bir deyişle, $y(t)$girişle aynı frekansta salınan ancak karmaşık bir sayıya göre ağırlıklandırılmış bir sinüzoit$K(\omega)$ ile ilgili olan $t$ (ve böylece çıktının genliğini ve fazını girdiye göre kaydırabilir).

EDIT: Yorumlar bu cevabın oldukça gevşek olduğunu kaydetti. Amacım, Fourier dönüşümünün farklı formları gibi detaylardan kaçınmaktı, ancak Fourier ve Laplace dönüşümlerini körükledim . Daha önce Fourier dönüşümü dediğim şey sadece Fourier dönüşümü $s$tamamen hayali idi. Bu rotayı açıklamanın çok fazla gösterim ekleyeceğine karar verdim, bu yüzden italik yazıyorum.

Şimdi, Laplace dönüşümünü al, son olarak (Laplace dönüşümü evrimi çoğalmaya götürdüğü için),

$$Y(s) = K(s) F(s)$$

Şimdi eğer $f$ bir sinüzoid, söyle $f(t)=e^{i\omega t}$, Laplace dönüşümü bir delta fonksiyonudur. $\omega$. Yani, $F(s) = \delta_{w}(s)$. Böylece, çıkışın Laplace dönüşümü de bu frekansta bir delta işlevidir:

$$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$$

Dan beri $K(\omega)$ sadece giriş frekansına, çıkışa bağlı karmaşık bir sayıdır $y(t)$ girişle aynı frekansta, ancak potansiyel olarak farklı genlik ve faza sahip bir sinüsoid olacaktır.

Bu arada, Wikipedia'da zaman alanında yazılmış aynı fikri bulabileceğinizi fark ettim . Daha üst düzey bir açıklama (çok fazla matiği yoksa görmezden gelebilirsiniz), lineer sistem teorisinin Fourier dönüşümü ile köşegenleştirilen evrişim işlemiyle tanımlanmasıdır. Böylece, girişi Fourier dönüşüm operatörünün özvektörü olan bir sistem, girişinin yalnızca ölçekli bir versiyonunu çıkarır.

Diyelim ki girdili bir sistemimiz var $x_1(t)$ çıktı üreten $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ve bir girişle $x_2(t)$ çıktıyı alıyoruz $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$. Aşağıdaki durumlarda sistem doğrusaldır:

$$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

nerede $a$ ve $b$(gerçek veya karmaşık) sabitlerdir. Yukarıdaki denklemler yerine getirilmezse, sistem doğrusal değildir. Denklem, zaman ve frekans alanlarında gerçek ve karmaşık sinyaller için kullanılabilir. Bu, süperpozisyon ilkesinin geçerli olmasıyla aynıdır. Sarwate'in bir yorumda açıkladığı gibi, bu sistemin yeni frekanslar üretmesini engellemez. Muhtemelen sadece dolaylı olarak zamanla değişmezlik varsaymaya alışkınız. Nedeni, bir veya daha fazla harici kontrol sinyali uygulayarak zamanla değişen bir sistemi zamanla değişmeyen bir sistemle eşlemek genellikle mümkündür.

Doğrusallık tanımından ve ayrıca zamanla değişmeyen bir sisteme ihtiyaç duyulduğunda, doğrudan doğrusallık gereksinimine uyurken iki (veya daha fazla sinyalin) müdahale edemeyeceğini ve yeni frekans bileşenleri oluşturamadığını doğrudan görebiliriz. Süperpozisyon ilkesi doğrudan doğrusallık tanımından da kaynaklanmaktadır.

Ayrıca doğrusallık tanımından doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için evrişim kavramı gelir. Doğrusal olmayan sistemler için, örneğin, çok boyutlu bir evrişim integrali olan Volterra serisine sahibiz - 1 boyutlu evrişim integrali, Volterra serisinin özel bir örneğidir. Bu doğrusal tekniklerden çok daha karmaşıktır. Ancak, doğrusal bir sistem için evrişim integraline dayanarak, türetme @sydeulissie tarafından gösterileni izler.

Yeni frekansların üretildiği doğrusal olmayan bir ilişkinin basit bir karşı örneğini göstermek için kullanabiliriz ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$. Önce bunun gerçekten doğrusal olmadığını gösterelim. Girişi uygularsak$x_1(t)$ çıktıyı alıyoruz $y_1(t) = x_1^2(t)$ ve girdiyi uygularsak $x_2(t)$ çıktıyı alıyoruz $y_2(t) = x_2^2(t)$. Çıktı$y(t)$ o zaman:

$$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$$

veya:

$$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

ve böylece kanıtladık $x^2$doğrusal olmamak (şaşırtıcı olmayabilir). Tek bir sinüzoidal sinyal uygularsak$x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ sisteme ${\cal G}$ çıktı var:

$$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$$

Buradaki çıktı, bir DC bileşeni ve frekansta başka bir bileşen içerir $2f_0$. Doğrusal olmayan fonksiyon$x^2$ böylece yeni frekans bileşenleri üretir.

Sonuç olarak, doğrusal bir sistemin girdide bulunmayan frekans bileşenleri üretebileceği gözlenebilir (sistem zaman varyantıysa). Sistem doğrusal zamanla değişmezse, çıkış girişte bulunmayan frekans bileşenlerini içeremez.

En alakalı yorum için @Sarwate'e teşekkürler.

Dilip Sarwate'in işaret ettiği gibi, sadece lineer kayma-değişmez (LSIV) sistemleri SISO (sinüsoid insinusoid dışarı) özelliğine sahiptir.

Sorunuzun kısa cevabı, karmaşık üslerin $e^{\jmath \omega t}$are özfonksiyonlar bir LSIV sisteminin. Özfonksiyon tanımıyla, eğer girdi özfonksiyon ise (sinüs / cos, Euler formülüne göre karmaşık üstel ile temsil edilebilir), çıktı sadece karmaşık bir sayı olabilen girişin ve karşılık gelen özdeğerin ürünüdür ve bu burada faz / genlik değişimleri gelir.