Sıfır, Birinci, İkinci… nci sırada Muhafaza

9

Dikdörtgen işlev şu şekilde tanımlanır:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Üçgen fonksiyon şu şekilde tanımlanır:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ İki özdeş birim dikdörtgen fonksiyonunun evrişimidir:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ Sıfır derece bekletme ve Birinci derece bekletme bu işlevleri kullanır. Aslında, şunları içerir:

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ Sıfır sipariş tutma için ve

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ Birinci dereceden bekletme için. Dan beri

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , Bunun sadece bir tesadüf olup olmadığını veya İkinci dereceden bekletme için dürtü yanıtının

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Bir general için de geçerli mi

k

$k$ - sipariş tutma? Yani, koy

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ nerede

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ dürtü yanıtı

k

$k$ sipariş tutma, dürtü yanıtının olup olmadığını bilmek istiyorum

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k kere.

sampling interpolation

— işaret
kaynak

bir referans görmedim

k

$k$ -sipariş tutma için

k > 1

$k>1$ . olmasını beklerdim

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$ işlev kendisiyle kıvrık

k - 1

$k-1$ zamanlar. ama tanımın ne olduğunu bilmiyorum.

— robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: Sıfır dereceli tutma (sıfır dereceli polinom enterpolasyonu, yani parçalı sabit) ve birinci dereceden tutma (birinci dereceden polinom enterpolasyonu, yani parçalı doğrusal) ile bir n. n. sıradaki bir polinom tarafından parçalı bir enterpolasyondur. Belirtildiği üzere burada (s. 6).

— Matt L.

1

Bunlar ve @ robertbristow-johnson'un aşağıdaki cevabında açıkladığı şeye B-spline denir.

— Olli Niemitalo

Herkes faktör 2 ile bir görüntü matrisi ile gösterebilir, lütfen? Ve burada faktör hakkında oldukça net değilim.

— user30462

9

Olay bu değil. Her şeyden önce, ikinci dereceden bir tutuş, bir enterpolasyon polinomunu hesaplamak için üç örnek noktası kullanır, ancak önerilen dürtü yanıtınız $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ boyut aralığında sıfırdan farklı $4$ (örnek aralık olarak $T=1$ , sorunuzda yaptığınız gibi). Bununla birlikte, ikinci dereceden bir ambara karşılık gelen dürtü tepkisinin uzunluk desteği olmalıdır $3$ .

Şimdi bir $n^{th}$ düzen tutma dürtü yanıtı olabilir ki bu evrimi $n$ dikdörtgen fonksiyonlar. Bu durumda doğru destek boyutunu elde edersiniz, ancak elbette bu yeterli değildir.

bir $n^{th}$ -order hold kullanarak parça-bilge enterpolasyon hesaplar $n+1$ ardışık veri noktaları. Bu, tek bir veri noktası kullanan sıfır dereceli bir tutma ve iki veri noktası kullanan birinci dereceden bir tutma ile benzerdir. Bu tanım literatürde yaygın olarak kullanılmaktadır (bkz. Örneğin burada ve burada ).

Üç veri noktasını enterpolasyon yapan ikinci dereceden polinomun $y[-1]$ , $y[0]$ , ve $y[1]$ tarafından verildi

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Tarafından verilen enterpolasyonu sağlayan dürtü yanıtını bulmak için $(1)$ , eşitlemeliyiz $(1)$ ifadesiyle

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Dürtü tepkisinin desteğini seçersek $h(t)$ aralık olarak $[-1,2]$ , bu enterpolasyon aralığını seçmeye eşdeğerdir $[0,1]$ , eşitleme $(1)$ ve $(2)$ ikinci dereceden bir ambarın aşağıdaki dürtü yanıtıyla sonuçlanır:

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

Dürtü yanıtı $(3)$ ikinci dereceden bilgi muhafazası şöyle görünür:

Bu dürtü tepkisinin üç dikdörtgen fonksiyonu birbiriyle birleştirerek üretilemeyeceğini size bırakıyorum.

— Matt L.
kaynak

Matt, 2. dereceden bilgi muhafazasının ne olduğuna ilişkin temsili için bir referans verebilir misiniz? % 100 arsa yanlış olduğuna ikna oldum.

— robert bristow-johnson

Denk. (1) (öncülün doğru olduğu varsayılarak). bunu yansıtmak için sana bırakacağım

h (t)

$h(t)$ .

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: Düzenlemenizi çözdüm, çünkü "düzeltmeniz" yanlıştı. Denklemim verir

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$ , olması gerektiği gibi; seninki verir

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$ . Bunun neden yanlış olduğunu yansıtmak için size bırakacağım.

— Matt L.

i "düzeltme" hakkında düzeltilmiş durmak. eksi işaretlerinin sayısını kaybettim. (aslında bunu düşünüyordum

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$ hangi bir eksi işareti ile kapalı. biraz daha etrafa baktım. hiç kimse özellikle açık görünmüyor.

— robert bristow-johnson

5

bu yüzden bence bir $n$ - sipariş tutma bir $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ kendine kıvrık $n$ zamanlar.

Wikipedia her şeyin nihai referansı değil, oradan kokladığım bir şey var. Örnekleme ve yeniden yapılanmayı düşünün (Shannon Whittaker ne olursa olsun). orijinal bandlimited girişi $x(t)$ ve örnekler $x[n]\triangleq x(nT)$ bant sınırlama girişi ile numunelerden yeniden oluşturulabilir

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

frekans cevabı ile ideal bir tuğla duvar filtresinin çıktısıdır:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

ideal olarak örneklenmiş fonksiyon ile çalıştırıldığında

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

yani girdiğinde ortaya çıkan . yeniden oluşturma filtresinin geçiş bandı kazancı boyutsuz veya 0 dB olacak şekilde faktörüne ihtiyaç vardır . $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

Bu, ideal tuğla duvar filtresinin dürtü yanıtının

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

yeniden olduğu $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

bu yeniden yapılanma filtresini açık bir şekilde anlayamayız çünkü nedensel değildir. ancak yeterli bir gecikmeyle, gecikmeli bir nedensel ile yaklaşabilir ve yaklaşabiliriz . $h(t)$

şimdi pratik bir DAC özellikle yakınlaşmıyor, ancak numuneden hemen sonra örnek periyodu için örnek değeri çıktısını verdiğinden, DAC çıktısı şöyle görünür $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

ve dürtü yanıtı olan bir filtre olarak modellenebilir

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

aynı . yani $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

ve ima edilen yeniden yapılandırma filtresinin frekans cevabı

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

bu frekans cevabındaki sabit yarım örnek gecikmesine dikkat edin. orası Sıfır derece tutma geliyor.

bu nedenle ZOH, ideal tuğla duvar rekonstrüksiyonu ile aynı DC kazancına sahipken, diğer frekanslarda aynı kazanca sahip değildir. ek olarak, deki resimler gibi tamamen dövülmez, ancak biraz dövülürler. $x_\text{s}(t)$

Öyleyse neden zaman alanının POV'sinde bu? Ben süreksizlik nedeniyle düşünüyorum . x_ içindeki dirac impulsların toplamı kadar kötü değil , ancak sıçrama süreksizliklerine sahiptir. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

atlama süreksizliklerinden nasıl kurtulabilirsiniz? belki de onları ilk türev süreksizliklerine çevirebilir. ve bunu sürekli zaman alanında entegrasyon durumunda kullanılır. bu nedenle birinci dereceden bekletme , DAC çıktısının aktarım işlevine sahip bir tümleştirici üzerinden yürütüldüğü yerdir; ancak, tümleştiricinin, ayrık zamanlı etki alanı. bu ayrık zamanlı farklılaştırıcının çıktısı veya Z-dönüşümü $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

bu farklılaştırıcının aktarım işlevi veya sürekli Fourier alanında, . bu, birinci dereceden tutma fonksiyonunun sürekli zaman entegratörünün, ayrık zaman farklılaştırıcısının ve DAC'ın ZOH'nin birlikte çoğalmasını sağlar. $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

bunun dürtü yanıtı

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

şimdi, bununla devam ederek, ikinci dereceden elde tutma hem sürekli sıfırıncı hem de birinci türevlere sahip olacaktır. bunu tekrar sürekli zaman alanına entegre ederek ve ayrık zaman alanına başka bir farklılaştırıcı ile telafi etmeye çalışarak yapar. başka bir faktörünün içinde başka bir . $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

— robert bristow-johnson
kaynak

Bu nihayetinde bir Gauss dürtü tepkisine yaklaşacak ve bunu çok sezgisel anlamlandıramıyorum. Bir n. Sıradaki tutmanın - ZOH ve FOH ile tamamen benzer şekilde - bir n. Sıradaki polinom aradeğerleyici olduğuna inanıyorum. Bu görüşü diğer birkaç yazarla paylaşıyorum: örneğin, bunlar ve bu . Başka bir yerde gerçekleşen n'inci sıraya ilişkin yorumunuzu görmedim.

— Matt L.

çok uzun bir Gausslu. bir sıralı ambarın dürtü yanıtı , -türe kadar olan tüm türevlerin sürekli olacağı şekilde birleştirilen parçalı sıradaki polinomların bitişik bölümleri olacaktır. ve bence bu nedensel. BTW, cevabı henüz bitirmedim. Sorta üzerine çıkmıştı, ama sonunda hepsini birbirine bağlamayı planlıyorum. ve ben bir bütün lotta dilbilgisi düzeltmek olacak

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

— robert bristow-johnson

2

Başka bir soru bunun kopyası olarak işaretlendi. Orada da çokgen tutuşun ne olduğu soruldu . Bu ve çokgen tutma , tahminci birinci dereceden tutmada olduğu gibi bir testere gibi görünen çıktıdan ziyade "noktaların bağlandığı" doğrusal enterpolasyon için eşanlamlı gibi görünmektedir. Örneklerin hatlarla bağlanması, hattın doğru yöne yönlendirilebilmesi için bir sonraki numunenin önceden bilinmesini gerektirir. Örneklerin önceden bilinmediği gerçek zamanlı kontrol sistemleri bağlamında, hatların örneklere bağlanması için çıktının bir örnekleme periyodu tarafından ertelenmesi gerektiği anlamına gelir.

Polinom tutma (çokgen tutma değil) hem sıfır sıralı tutma hem de birinci derece tutma içerir.

— Olli Niemitalo
kaynak