LTI sistemi neden yeni frekans üretemiyor?

9

Neden , bir LTI sisteminin yeni frekans üretemediğini ima eder? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Neden bir sistem yeni frekanslar üretirse, o zaman LTI değildir?

convolution time-frequency

— KULLANICI
kaynak

15

LTI sistemlerinin kesin özelliklerinden biri , girdilerinde henüz mevcut olmayan yeni frekanslar üretememesidir. Lütfen bu bağlamda bir frekansın tipteki sinyalleri ifade ettiğini unutmayın. $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ veya $\cos(\Omega_0 t)$ arasında olan sonsuz süresi ve aynı zamanda şu şekilde de ifade edilir Özfonksiyonlar (özellikle yalnızca kompleks üstel için) LTI sistemleri olan ve BT Fourier dönüşümleri ile ifade edilir dürtü olarak frekans alanında işlevleri $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ veya $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ repectively.

Bunun neden böyle olduğunu görmenin bir yolu, CTFT'yi gözlemlemek, $Y(\omega)$ , çıktı $y(t)$ iyi bilinen ilişkinin verdiği $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ Sistem aynı zamanda LTI (ve sadece zaman istikrarlı böylece Nitekim olarak $H(e^{j \omega})$ ) Bulunmaktadır.

(yani

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$ sadece dürtü yanıtı olduğunda

h (t)

$h(t)$ var ve yalnızca sistem LTI olduğunda mevcut olacaktır.)

Basit bir grafik çizim ile yönlendirilen küçük bir düşünceden ve yukarıdaki çarpma özelliğini kullanarak, destek frekans bölgesinin $R_y$ (hangi frekanslar için $Y(\omega)$ sıfırdan farklıdır) $Y(\omega)$ destek bölgelerinin kesişimi ile verilir $R_x$ ve $R_h$ girişlerin $X(\omega)$ ve frekans yanıtı $H(\omega)$ LTI sisteminin:

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Ve set cebirinden biliyoruz ki $A = B \cap C$ sonra $A \subset B$ ve $A \subset C$ . Yani, bir kavşak her zaman kesişen şeye eşit veya daha azdır. Bu nedenle, destek bölgesi $Y(\omega)$ desteğinden daha az veya en fazla $X(\omega)$ . Dolayısıyla çıkışta yeni frekans gözlenmez.

Bu özellik bir LTI sistemi olmak için gerekli bir koşul olduğundan, ona sahip olmayan herhangi bir sistem LTI olamaz.

— fat32
kaynak

9

Sağladığınız önermeyle, basit bir cebirsel argüman yapabilirsiniz. Eğer:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

nerede $X(\omega)$ giriş sinyalinin spektrumudur ve $H(\omega$ ) sistemin frekans cevabıdır, o zaman bazı varsa $\omega$ giriş sinyalinde $X(\omega) = 0$ , sonra $Y(\omega) = 0$ ayrıca; faktör yok $H(\omega)$ sıfırdan farklı bir değer elde etmek için ile çarpabilirsiniz.

Bununla birlikte, LTI sistemleri için yukarıda başladığım öncülün gerçeğini belirlemek biraz iş gerektiriyor. Ancak, bunun doğru olduğunu varsayarsak, bir LTI sisteminin çıktısına herhangi bir yeni frekans bileşeni ekleyememesi doğrudan bunu izler.

— Jason R
kaynak

Kanıt, yeterince iyi davranmış herhangi bir sinyal için Fourier Dönüşümünün ters çevrilebilir olduğunu ve hem FT'nin hem de tersinin doğrusal olduğunu göstermek olacaktır. Frekanslı her sinyal yeterince iyi davranır.

— Marcus Müller

3

Neden $Y(ω)=X(ω)H(ω)$ bir LTI sisteminin yeni frekans üretemediğini ima eder?

Belirli bir frekans $\omega_\text{abs}$ girdimizde mevcut değil, $X(\omega_\text{abs}) = 0$ . Çünkü 0 çarpımsal kimliğe itaat eder $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ , $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ . Böylece frekans $\omega_\text{abs}$ çıkış sinyalinde yok.

Neden bir sistem yeni frekanslar üretirse, o zaman LTI değildir?

Diyelim ki girdimiz $x(t) = \cos(t)$ . Daha sonra sistemimizin yeni frekanslar üretebileceğini varsayarsak, çıktıyı elde etmek mümkündür. $y(t) = \cos(2\cdot t)$ . Çünkü sabitleri bulamıyoruz $c_1, c_2$ öyle ki $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$ , sistemimiz LTI değil.

— Scott
kaynak

LTI'yı kontrol etmek için sadece c1 değil, c2 de kullanılmıyor mu?

— USER

1

ilk nokta, yani sıfır bir şey çarparak sıfır olmayan bir şey elde edemezsiniz ki, bu özlü cevap olduğunu söyleyebilirim.

— robert bristow-johnson

c1 doğrusallık için kullanılır, c2 zaman kaydırma için kullanılır. Her şeyi 1 zaman birimi geciktiren bir LTI sistemimiz olabilir.

— Scott

1

Bir LTI sistemi saf frekanslarla köşegenleştirilir . Sinüsler / kosinüsler lineer sistemin özvektörleridir. Başka bir deyişle, herhangi bir sıfır olmayan sinüs veya kosinüs (veya kompleks bir cisoid) girişi, aynı frekansta bir sinüs veya kosinüs çıkışına tam olarak sahiptir (ancak çıkış genliği kaybolabilir).

Değişebilecek tek şey, genlikleri veya fazlarıdır. Dolayısıyla, girişte belirli bir frekansa sahip sinüs yoksa, çıkışta bu frekansla hiçbir şey (sıfır) elde edemezsiniz.

İkinci soru kontrasepsiyon veya regülasyon falsi ile cevaplanır: $A\implies B$ doğru, öyle $\overline{B}\implies \overline{A}$ . Bir sistem LTI ise, yeni frekanslar oluşturmaz. Bir sistem yeni frekanslar üretirse, LTI değildir.

— Laurent Duval
kaynak