Frekans alanı sıfır dolgusu - X'in özel tedavisi [N / 2]

Farz edelim ki, periyodik bir sinyali frekans alanında sıfır dolguyla çift sayıda örnekle (örneğin N = 8) enterpole etmek istiyoruz.

Şimdi DFT'yi X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
verelim 16 örneğe verelim Y. Gördüğüm her ders kitabı örneği ve çevrimiçi öğretici vermekte sıfır ekler . (O zaman enterpolasyonlu sinyaldir.)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

Bunun yerine neden kullanmıyorsunuz Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

Anlayabildiğim kadarıyla (matematik bilgim sınırlı):

Toplam gücü en aza indirir
O takdirde sağlar xsonra gerçek değerlidir böylediry
yhala xgerektiği gibi tüm örnek noktalarda kesişiyor (bence bu herhangi bir pyer için doğru Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

Peki neden hiç böyle yapılmadı?

Düzenleme : xmutlaka gerçek değerli veya bant sınırlı değildir.

dft interpolation zero-padding

— finnw
kaynak

"Gördüğüm her ders kitabı örneği ve çevrimiçi öğretici ... 'da sıfır ekler ..." yazıyorsunuz, yazınızı bazı referanslarla güncelleyebilir misiniz? Sadece merak ediyorum, çünkü x'in mutlaka gerçek değerli olmadığını ve bahsettiğiniz ilk yapının (genel olarak) ters DFT ile gerçek bir sonuç üretmediğini yazıyorsunuz.

— niaren

@niaren İşte bir örnek: dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

Sırayla için dikkat çekerek It değerinde gerçek değerli olması, o zaman izin gerekir (yani, frekans bölgesi vektörünün "negatif frekans" yarısı için E'yi kopyaladığınızda, onu konjuge etmeniz gerekir. Zaman alanında gerçek olan sinyallerde konjugat-simetrik DFT'ler bulunur.

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$

— Jason R

@Jason R, giriş sinyali gerçek değerli ise E de [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] bu koşulu yerine getirir. Girdi gerçek değerli değilse, çıktının gerçek değerli olmaya zorlanması gerekmez.

— finnw

Haklısın. Akşamları çok geç bir yorum yazdığım için aldım.

— Jason R

Yanıtlar:

8 noktalı DFT'nizdeki kutuların frekanslarına bakalım:

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m Ö d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m Ö d 2 π), \\ ω_{G,} = 3 π / 2 = - π / 2 (m Ö d 2 π), \\ ω_{'H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m Ö d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$ Dolayısıyla, 2 katına kadar enterpolasyon yaptığınızda, noktasının frekansı veya .

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

İlk bakışta, yaklaşımınızdaki sorunun ne olduğunu göremiyorum çünkü veya ile ilişkili bölmeye konulması gerekip gerekmediği açık değil . $E$ $\pi$ $-\pi$

On Julius O. Smith III sayfasından , bir durumu belirtiyor:

Ayrıca, eşit olduğunda gerekirken, garip böyle bir kısıtlama gerektirmez. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

Ve onun örneği , sorunu önleyen tek bir için var . $N$

Gerekli olduğundan emin değilim, ama Julius'un çalışmasına tam referans:

Smith, JO Ses Uygulamaları ile Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) Matematiği, İkinci Baskı, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007, çevrimiçi kitap, 28 Eylül 2011'e erişildi.

— Peter K.
kaynak

Verileri enterpolasyonlamanın birçok yolu vardır. Aklımda enterpolasyon, bazı veri noktaları arasında çizgiler çizdiğiniz anlamına gelir. Bu birçok yolla yapılabilir. DSP'de (özellikle çok oranlı DSP'de) yararlı olan bir enterpolasyon türü, 'Bandlimited enterpolasyon'dur. Eğer google çok ilginç ve yararlı hit alırsınız. Teklif ettiğiniz şey sınırsız enterpolasyon değildir. 'Yukarı örneklenmiş' x'inizde orijinal x'de bulunmayan frekans bileşenleri vardır.

Düzenle (bir yoruma sığmayacak kadar uzun):

Yapınız arasında, ile başlayıp referansta verilen örnek arasında oldukça önemli bir fark vardır . $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

Gerçek girdi göz önüne alındığında

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

Tam bant girişi için 2 faktörü ile örnekleme. Bu durumda örnekleme ilk önce araya giren girişe sıfırlar ( . Sonuç, x ( aralığında ) ve uzanan bir görüntü (yalnızca pozitif frekans eksenini göz önünde bulundurarak). x2, örneklenen sürümse $x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

İdeal durumda , görüntüyü kaldırmak için kesim frekansı olan ideal bir tuğla duvar filtresi gereklidir. Yani (sonsuz giriş için) $\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

Pratikte tuğla duvar filtresi gerçekçi olmadığı için biraz bozulma olacaktır. Pratik filtre, girişteki frekansları bastırabilir / kaldırabilir veya görüntüdeki bazı frekans bileşenlerinde, örneklenen sinyalde bırakabilir. Veya filtre ikisi arasında bir uzlaşma sağlayabilir. Sanırım frekans alanı yapınız da bu uzlaşmayı yansıtıyor. Bu iki örnek, iki farklı seçeneği temsil eder:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

Giriş, referansınızdaki gibi nyquist frekansının altında sınırsız ise, bu sorun kaybolur.

Belki bir değer bulmak mümkündür , aşağıdaki gibi, örneğin giriş spektrumu ve yukarı-çıkış spektrumu arasındaki karesi alınmış hata en az bir hata fonksiyonu olduğu. $\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
kaynak

Tabii ki bu sınırsız enterpolasyon. Ne demek, orijinal olmayan frekans bileşenleri ?

x

$x$

— leftaroundabout

@ leftaroundabout Orijinal x bant sınırlıdır (bu örnekte Nyquist frekansına göre). OP x'i 2 katına çıkarmak istiyor (yorumum). X'i örneklemenin bir yolu, OP tarafından gösterildiği gibi frekans yanıtına sıfırlar eklemektir (E olmayan örnek, DSP ders kitaplarında gösterilen örnek) ve ters bir FFT yapmaktır. Aynı şeyin x ve (alçak geçiren) filtreye sıfır (sıfırdan geçirilmiş) filtre yerleştirilerek sıfırın eklenebileceğine inanıyorum. OP tarafından gösterildiği gibi E'nin eklenmesi ile, yukarı örneklenen x orijinal Nyquist frekansıyla sınırsız değildir. Bu tipik olarak istenmez (bozulmadır). Katılıyor musun?

— niaren

Araya girilen sıfırların eklenmesi ve bir sinc ile kıvrılması (2 ile çarpılması) gerçekten de karşılık gelen zaman alanı operasyonu olmalıdır. - onun 'için bozulma sanmıyorum: İki bidon OP koymak , aynı frekansta hem temsil s .

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

— leftaroundabout

± N / 2 frekansının x cinsinden olduğunu varsayıyorum. Farklı (bandlimiting veya başka şekilde) değil ise, o zaman D 0 zaten çok 0 ile E (veya 2E) ve doldurma ile dolgu arasında bir fark yoktur olurdu;

— finnw

Bant sınırlamalı bir sinyal, DFT-diyafram açıklığındaki herhangi bir periyodik olmayan spektral içerikten, özellikle Fs / 2'ye yakın (fakat değil) herhangi bir "spektral sızıntısı" nedeniyle depo gözü N / 2'de hala içeriğe sahip olabilir.

— hotpaw2