Kovaryans ve Otokorelasyon

13

Bu kavramlar arasında doğrudan bir ilişki olup olmadığını anlamaya çalışıyorum. Kesinlikle tanımlardan, genel olarak farklı kavramlar gibi görünüyorlar. Bununla birlikte ne kadar çok düşünürsem, o kadar çok benzer olduklarını düşünüyorum.

Let $X,Y$ WSS rasgele vektörler olabilir. Kovaryans, $C_{XY}$ , ile verilmektedir

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$ vektörünün Hermit kısaltmasıdır.

Let $Z$ WSS rasgele vektör. Otokorelasyon fonksiyonu, $R_{XX}$ ,

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Düzenleme Not Sinyal tanımlamaya uygulanan bu tanımda bir düzeltme vardır, aşağıdaki Matt'in Cevabı'na bakınız.

Kovaryans bir zaman kavramını içermez, rasgele vektörün her elemanının bazı rasgele jeneratörün farklı bir gerçekleştirimi olduğunu varsayar. Otokorelasyon rasgele bir vektörün bazı ilk rasgele jeneratörün zaman evrimi olduğunu varsayar. Ancak sonuçta, ikisi de aynı matematiksel varlık, bir sayı dizisidir. $X=Y=Z$ izin verirseniz ,

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ eksik olduğumdan daha ince bir şey var mı?

autocorrelation covariance proof

— rbell
kaynak

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

12

$Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Bir yana, sinyal işlemede, otokorelasyon genellikle şu şekilde tanımlanır:

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

yani ortalamayı çıkarmadan. Otokvaryans,

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Bu iki işlev aşağıdakilerle ilgilidir:

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
kaynak

τ

$\tau$

@PhilMacKay: Elbette, ancak bu yalnızca WSS işlemleri için işe yarar. Süreçlerin mutlaka durağan olmadığı genel durumun tanımlarını verdim.

— Matt L.

Evet, durağan olmayan süreçler veri analizi için can sıkıcı olabilir, bu yüzden sevgili istatistiksel araçlarımı kullanmadan önce her zaman bir verinin eğilimini azaltmaya çalışırım! Yine de her zaman mümkün değil ...

— PhilMacKay

0

$\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Benim kişisel deneyimimde (astrofizik, çeşitli sensör işleme), kovaryans iki veri kümesinin benzerliğini kontrol etmek için bir katsayı olarak kullanılırken, otokorelasyon korelasyon mesafesini karakterize etmek için kullanıldı, yani bir veri başka bir veri haline gelmek için ne kadar hızlı gelişti Baştan sona.

— PhilMacKay
kaynak