Kübik spline enterpolasyonu ne zaman enterpolasyon yapan bir polinomdan daha iyidir?

Aşağıdaki grafik, bir kitaptaki bir örneğin küçük bir varyasyonudur. Yazar bu örneği, eşit aralıklı örnekler üzerinde enterpolasyon yapan bir polinomun enterpolasyon aralığının uçlarına yakın büyük salınımlara sahip olduğunu göstermek için kullandı. Tabii ki kübik spline enterpolasyonu tüm aralık boyunca iyi bir yaklaşım sağlar. Yıllarca, burada gösterilen nedenden ötürü eşit aralıklı numuneler üzerinde yüksek dereceli polinom enterpolasyonunun önlenmesi gerektiğini düşündüm.

Bununla birlikte, son zamanlarda yüksek dereceli enterpolasyonlu polinomun kübik spline enterpolasyonundan daha az yaklaşık hata verdiği birçok bant sınırlama sinyali örneği buldum. Tipik olarak bir Enterpolasyon polinomu, numune oranı yeterince yüksek olduğunda enterpolasyon aralığının tamamında daha doğrudur. Numuneler, sinyalin Nyquist frekansından en az 3 kat daha yüksek bir örnekleme hızı ile eşit aralıklarla yerleştirildiğinde, bu durum geçerli görünmektedir. Ayrıca, (örnek oranı) / (Nyquist frekansı) arttıkça kübik spline enterpolasyonuna karşı avantaj artar.

Örnek olarak, kübik spline enterpolasyonunu 2 Hz Nyquist frekansı ve 6,5 Hz örnekleme oranına sahip bir sinüs dalgası için enterpolasyon yapan bir polinom ile karşılaştırıyorum. Örnek noktaları arasında, enterpolasyon yapan polinom gerçek sinyalle tamamen aynı görünür.

Aşağıda iki yaklaşımdaki hatayı karşılaştırıyorum. İlk örnekte olduğu gibi, polinom enterpolasyonu numune aralığının başlangıcına ve sonuna yakın bir yerde en kötü şekilde gerçekleşir. Bununla birlikte, enterpolasyon yapan polinomun tüm numune aralığı boyunca kübik spline'dan daha az hatası vardır. İnterpolasyon polinomu ayrıca küçük bir aralıkta ekstrapolasyon yaparken daha az hata yapar. İyi bilinen bir gerçeği keşfettim mi? Öyleyse, nereden okuyabilirim?

Tartışılan fenomen Runge fenomeni .

Maksimum mutlak değeri $n$th türevi $\sin(\omega t)$ dır-dir $\omega^n$. İçin Runge fonksiyonu $\frac{1}{25t^2+1}$ maksimum mutlak değeri $n$th (çift) türevi $5^nn!,$ nerede $n!$faktöriyel anlamına gelir. Bu çok daha hızlı bir büyüme. Sadece türevler artarak çok hızlı büyürse$n$, enterpolasyon sırası arttıkça enterpolasyon hatasının ayrılması mümkündür. Üstel$n$henüz çok hızlı değil. Şuna bir göz atın: James F. Epperson, Runge örneğinde , The American Mathematical Monthly , cilt. 94, 1987, sayfa 329-341.

Bir fonksiyonun sadece sürekli türevleri varsa, o zaman rekabetçi yaklaşım, parça-bilimli polinom spline enterpolasyonu, erken türevlerinin az sayıda sabit bir ilgi aralığı üzerinde sınırlanmışsa, her zaman yakınsar, örnek olarak doğrusal enterpolasyon hakkındaki Wikipedia makalesine bakın .

Her iki yöntem de yakınsa, (parça parça olmayan) polinom enterpolasyonu, çok sayıda örnek kullanılırsa daha yüksek bir polinom derecesi avantajına sahiptir ve sinüs örneğinizde gördüğünüz gibi daha iyi bir yaklaşım sağlayabilir. Ayrıca, LN Trefethen ilginizi çekebilir eşit aralıklı noktalarda polinom interpolasyon İki sonuçları , Yaklaşım Teorisi Dergisi Cilt 65, Sayı 3, Haziran 1991, Sayfalar 247-260. Alıntı:

[...] karmaşık üstel fonksiyonların bant sınırlı enterpolasyonunda $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ hata azalır $0$ gibi $n \to \infty$ ancak ve ancak $\alpha$ dalga boyu başına en az altı nokta sağlayacak kadar küçüktür.

Dalga boyu başına 6.5 örneğiniz var.