Kare süper kök işlevi için hangi yaklaşım teknikleri vardır?

Ben $x^x$ , yani kare süper kök (ssrt) işlevinin tersine bir yaklaşım uygulamak gerekir . Örneğin, $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ , anlamına gelir $1.56^{1.56} \approx 2$ . Güç serilerini kullanan daha basit yaklaşımların aksine, seçeneklerimin ne olduğunu anladığım kadarıyla belirli bir doğruluk / bit derinliği ile ilgilenmiyorum.

Wolfram Alpha , Lambert W işlevi (yani ) açısından hoş bir sembolik çözüm sunar . Ara veren aynı formül ve aynı zamanda denk . [1] [2] hesaplaması hakkında makul miktarda bilgi olduğu göz önüne alındığında , teknik olarak bir şeyi uygulamak için gereken her şey $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ çeşitli gereksinimler için. [3] [4] 'e yaklaşmak hakkında kapsamlı ayrıntılara giren en az iki kitap biliyorum , bu yüzden bu yönden optimize etmek için bolca yer var. $\ln(x)$

Ancak, iki sorum var:

Bu işleve özgü yaklaşım teknikleri herhangi bir yerde yayınlandı mı?
Referansların aranmasını biraz daha kolaylaştıracak "kare süper kök" dışında başka bir isim kullanıyor mu?

Vikipedi / Google içeren daha genel "tetrasyon" işlevleri adanmış bazı referanslar yukarı döndü özel bir durum olarak, ancak bunların çoğu daha genel durumları belirleyen / keşfetmek için dişli gibi görünüyor. $\mathrm{ssrt}(x)$

Çekirdeksiz, R .; Gonnet, G .; Hare, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996), "Lambert W işlevi hakkında" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Matematiksel Fonksiyonların Sayısal Kütüphanesi . http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw, Jack W. (2000), Gerçek Zamanlı Programlama için Matematik Araç Seti.
Hart, John F. (1978), Bilgisayar Yaklaşımı.
Chapeau-Blondeau, F. ve Monir, A. (2002). Lambert W fonksiyonunun sayısal değerlendirilmesi ve üs 1/2 ile genelleştirilmiş Gauss gürültüsünün üretilmesine uygulama. Sinyal İşlemede IEEE İşlemleri 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Minero, Paul. Hızlı Lambert W Yaklaşık olarak . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

Güncelleme

Son birkaç gün içinde biraz daha araştırma yaptıktan sonra, hala hands-on "Crenshaw tarzı" tür bulamadı tedavi Beklediğim, ama yeni bir buldunuz burada belgelemeye değer referans. in üçüncü sayfasında , "Hızlı Yaklaşım" başlıklı bir bölüm vardır ve bu gürültü oluşumu bağlamında yaklaştırmakla ilgili çok ayrıntıya girer . İlginç bir yanı olarak, [makalede] üssü olan "Gauss gürültüsü" olasılık yoğunluğu, Kellenjb'in cevabındaki histograma çarpıcı bir şekilde benzemektedir . $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ sinyal kırpma algılama konusunda bu soruyu .

Ek olarak, rwong tarafından yorumlarda verilen bağlantı , gerçekte uygulanması için harika bir kaynaktır ve hatta yazarın , açıklanan uygulamayı içeren fastapprox adlı BSD lisanslı projesine bağlanır . $[6]$ $W(x)$

approximation

— datageist
kaynak

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

Bunu Meta'da sordum, çünkü yorumlar alanı genişletilmiş tartışmalar için değildir. Lütfen şu soruları burada nasıl ele almamız gerektiğini önerin: Sayısal analiz hakkındaki sorular konuyla ilgili mi?

@datageist - Meta sorunun ilk sonucu, DSP verilerini işlemek için bu sayısal analizi kullanmak istiyorsanız, o zaman konu üzerine olmasıdır. Değilse, o zaman değil. Bunun DSP ile ilişkisi nedir?

— Kevin Vermeer

@Kevin Bir ses efekti geliştirme bağlamında ortaya çıktı.

— datageist

Lambert fonksiyonu için bir rutin yazmam gerektiğinde, genellikle bu makalede verilen yaklaşımları kullanır ve daha sonra Newton-Raphson, Halley veya başka bir yinelemeli yöntemle parlatırım. Bu yaklaşımı

ters çevirme için uyarlayabilirsiniz ...

x^{x}

$x^x$

Karanlıktaki bazı sayısal bıçaklar, yinelemeli bir yaklaşım için aşağıdakileri verdi:

Y ^ y = x olan y = f (x) çözümünü arıyoruz.

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

Değeri yukarıdaki denklemin bir sabit nokta ve ampirik olarak bu bazı değerler için konverjans görünüyor , ancak daha büyük değerler için $y$ $x$ $x$ o salınır veya ıraksar.

Sonra Newton'un yinelemeli kareköküne benzer bir yaklaşım denedim:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

y * karekök y (doğru başlangıç değeri tahmin gerçekleşmesi halinde doğruluğu koruyan bir birleşmeyen fakat iyimser cevap temsil etmesi gereken yerde ² = x, y * = x / y'dir).

Bu yakınsama gibi görünüyor, ama alt ucunda çok yavaş ( $x$ $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$ )

Ayrıca iyi bir ilk tahmin $y_0 = \ln(x)+1$ .

Bu yüzden belki de daha iyi yakınsak bir çözüm olduğunu düşündüm:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

Sonra ilginç bir şey buldum.

$y$ $y^y = x$ ve sonra hesaplarsam $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ , it appears as though $y_2-y$ = approximately $\epsilon \times (-\ln(y))$ .... e.g. if we had a guess $y_1 = y + \epsilon$ for some unknown $\epsilon$ , and computed $y_2 = g(x,y_1)$ , then $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$ . (Just to clarify, I have no analysis to verify this, but the numbers just popped out of some numerical evaluation I performed.)

Solve for the linear terms in $y$ , and you get $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ ... use $\ln(y_1)$ in place of $\ln(y)$ and you get this iterative approximation:

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{\ln (x)}{y [n]}} + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

This appears to work very well, with the initial guess $y = 1+\ln(x)$ , and appears to converge within 4 or 5 iterations.

(Someone could probably show that this is equivalent to Newton-Raphson in some way, but I think it's beyond my capability.)

— Jason S
kaynak