Bir sinyalin türevi ve ikinci türevi için düzeltilmiş tahminler nasıl bulunur?

10

Örneklenmiş bir sinyalim var $\Delta t$ : $f_i(t_i=i\Delta t)$ nerede $i = 0,\ldots,n-1$ . Sinyalin birinci ve ikinci türevini bulmak istiyorum: $f'(t)$ ve $f''(t)$ .

İlk düşüncem, türevleri merkezi farklılıklarla tahmin etmekti:

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

Bununla birlikte, sinyal $f'$ ve hızlı dalgalanmalara neden olabilecek çok yüksek frekanslı gürültüye sahip olabilir $f''$ .

$f'$ ve "düzeltilmiş" tahminlerini bulmanın en iyi yolu ne olabilir $f''$ ?

filters smoothing

— Andy
kaynak

6

Muhtemelen daha çok verilerinize bağlıdır. Farklılık doğrusal bir işlem olduğundan, f 've f' 'yi düzeltmek için herhangi bir doğrusal filtre seçerseniz, aynı filtreyi kullanarak f'yi düzeltmeye ve ardından türevlerini almaya eşdeğerdir.

Farklılaştırmak istediğiniz sinyal hakkında bazı resimler veya daha fazla bilgi gönderebilir misiniz? Muhtemelen aradığınız şey sinyali düzeltmek için bir çeşit alçak geçiren filtre. Birkaç basit seçenek arasında gibi tek kutuplu özyinelemeli bir filtre veya yalnızca Hann pencereli sinyal. Hann filtresi seçeneği iyi, çünkü lineer faz. Önem verdiğiniz frekans aralığını biliyorsanız, frekans alanında uygun bir düşük geçiş filtresi tasarlayabilirsiniz. $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— schnarf
kaynak

Teşekkürler schnarf! Dolayısıyla pürüzsüzleştirme ve ardından farklılaşma, farklılaşmaya ve ardından düzgünleştirmeye eşit olduğundan; Hann penceresiyle kıvrım yaparak orijinal sinyali de düzeltebilir miyim? Daha geniş bir aralıkta sonlu fark kullanmanın daha basit bir yaklaşımı hakkında: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), düzeltilmiş bir türev için oldukça iyi bir tahmin vermek?

— Andy

4

Savitzky-Golay filtre sinyali ve ilk birkaç türevlerinin yumuşak tahmin sağlar.

Bir MATLAB uygulaması burada bulunabilir .

— eglaser
kaynak