Algoritmalar: O (n) ve O (nlog (n)) 'yi birlikte nasıl toplarım?

Yinelenenleri bulur ve bunları kaldırır takip algoritması var:

public static int numDuplicatesB(int[] arr) {
    Sort.mergesort(arr);
    int numDups = 0;
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] == arr[i - 1]) {
            numDups++;
} }
    return numDups;
}

Bunun en kötü durum zaman karmaşıklığını bulmaya çalışıyorum. Mergesort'un olduğunu biliyorum nlog(n)ve benim for döngümde, veri kümesinin tamamını yineleyerek sayın n. Yine de bu rakamlarla ne yapacağımdan emin değilim. Onları bir araya toplayayım mı? Bunu yapacak olsaydım nasıl yapardım?

O(n) + O(n log(n)) = O(n log(n))

Büyük O karmaşıklığı için tek umursadığınız baskın terimdir. n log(n)hakim nolduğu için önemsediğiniz tek terim budur.

Bunun için bizim yolumuza bakalım ve tanımını hatırlayalım O. Kullanacağım kişi sonsuzluğun sınırı için.

Karşılık gelen asimptotik sınırlarla iki işlem yaptığınızı O(n)ve O(nlog(n))bunların tek bir sınırda birleştirilmesinin iki işlevi eklemek kadar basit olmadığını belirtmekte haklısınız. İşlevinizin en az O(n)zaman aldığını ve en az zaman aldığını da biliyorsunuz O(nlog(n)). Yani gerçekten fonksiyon için karmaşıklık sınıf birliği olduğunu O(n)ve O(nlog(n))ancak O(nlog(n))bir üst kümesidir O(n)sadece bu yüzden gerçekten O(nlog(n)).

Uzun bir süre açık bırakacak olursanız, kabaca şöyle görünürdü:

Toplam sürenin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım: a + b'nin sabit olduğu bir + bn günlüğü (n) (daha düşük dereceli terimleri yok sayarak).

N sonsuzluğa giderken (an + bn günlüğü (n)) / n günlüğü (n) -> a / günlüğü (n) + b -> b

Böylece toplam süre O (bn log (n)) = O (n log (n)) olur.

O () tanımı ile başlayın:

O (n log n), "n büyükse Cn log n'den az" anlamına gelir.

O (n) "n büyükse Dn'den az" anlamına gelir.

Her ikisini de eklerseniz, sonuç Cn log n + D n <C n log n + D n log n <(C + D) n log n = O (n log n) değerinden düşüktür.

Genel olarak, eğer f (n)> C büyük (n) ve bazı C> 0 için g (n), o zaman O (f (n)) + O (g (n)) = O (f (n)). Ve O () tanımını kullanarak birkaç vaka yaptıktan sonra, ne yapabileceğinizi ve yapamayacağınızı bileceksiniz.

Büyük O notasyonu set olarak tanımlanır:

Yani tüm fonksiyonlar - keyfi bir büyük noktadan başlayarak - her zaman g'den küçük olan tüm fonksiyonları içerir .

Şimdi, içinde olan bir işleve sahip olduğunuzda ve sonra g'den daha yavaş artan başka bir işlevi yerine getirdiğinizde, kesinlikle 2g'den yavaşlar. Dolayısıyla, g'den daha yavaş bir şey yürütmek karmaşıklık sınıfını değiştirmez.

Daha resmi:

Bunu kolayca kanıtlayabilirsiniz.

TL; DR

O hala