Zaman karmaşıklığı 2 ^ sqrt (n)

Bir algoritma sorusu çözüyorum ve benim analiz O (2 ^ sqrt (n)) üzerinde çalışacak olmasıdır. Ne kadar büyük? O (2 ^ n) 'ya eşit mi? Hala polinom olmayan bir zaman mı?

Bu ilginç bir soru. Neyse ki, nasıl çözüleceğini öğrendikten sonra, özellikle zor değil.

Fonksiyonlar için f : N → R ⁺ ve g : N → R ⁺ , elimizdeki f ∈ O ( g ), ancak ve ancak lim destek _{N → ∞} f ( n ) / g ( n ) ∈ R .

Bir fonksiyon f : N → R ⁺ sürekli var olan en polinom büyümeyi ancak ve ancak sahip k ∈ N , öyle ki ön ∈ O ( n, ↦ n ^k ). Bunu keyfi ama sabit k ∈ N için halledelim .

lim sup _{n → ∞} 2 ^{( n 1/2 )} / n ^k =
lim _{n → ∞} 2 ^{( n 1/2 )} / n ^k =
lim _{n → ∞} e ^{log (2) n 1/2} / e ^{log ( n ) k} =
lim _{n → ∞} e ^{log (2) n 1/2 - log ( n ) k} = ∞ ∉ R

İlk eşitlik doğrudur çünkü hem aday hem de payda monoton olarak büyüyen sabit işlevlerdir. İkinci eşitlik x ^y = e ^{log ( x ) y} kimliğini kullanır . Son ifadedeki üs yukarıda sınırlanmadığından, sınır sonlu değildir. Resmi bir kanıt vermeden, n ^{1/2 'nin} log ( n )' ye asemptolojik olarak hükmedildiği varsayılabilir . Bu nedenle, söz konusu fonksiyon polinom büyümesini aşmaktadır.

Bununla birlikte, büyümesi kesinlikle üstelden daha azdır, burada üstel (benim için bu amaç için) c > 0 için O ( n ↦ 2 ^{c n} ) olarak tanımlanır .

lim sup _{n → ∞} 2 ^{c n} / 2 ^{( n 1/2 )} = lim _{n → ∞} 2 ^{c n - n 1/2} = ∞ ∉ R

herhangi bir sabit, c > 0 nedenle, işlev karmaşıklığı polinom ve üstel arasında bir yerlerde esas yerdir.

Ne kadar büyük? O (2 ^ sqrt (n)) tam olarak ne kadar büyük :-(

Ne anlama geldiğine dair bir fikir edinmek için algoritmanızın yalnızca O (2 ^ sqrt (n)) olmadığını, aslında bilgisayarınızda tam olarak 2 ^ sqrt (n) nanosaniye sürdüğünü düşünün:

n = 100: 2 ^ 10 = 1024 nanosaniye. Hiç zaman yok. n = 1000: 2 ^ 31.xxx = 2 milyar nanosaniye. İki saniye, bu farkedilebilir. n = 10.000: 2 ^ 100 ≈ 10 ^ 30 nanosaniye = 10 ^ 21 saniye = 30 trilyon yıl.

Bu n ^ 100'ün 30 trilyon yıl alacağı 2 nano nanosaniyeden çok daha iyidir, ancak yine de çözebileceğiniz sorunların boyutu oldukça sınırlıdır. Bilgisayarınız bir hafta içinde çözebilirse "çözülebilir" bir sorun olduğunu düşünüyorsanız, bu yaklaşık 6 x 10 ^ 14 nanosaniye, n = 2.400 civarındadır. Öte yandan, n = 400'e kadar milisaniyede çözülebilir.

(Uygulamada, n = 10,000 için hem O (2 ^ sqrt (n)) hem de O (2 ^ n) tam olarak aynı zaman alır: Beklemek için çok uzun.)

Herhangi bir polinomu aşar. N ^ 1000 saniye süren başka bir algoritma kullanın. Bu, n = 2 için pratik olarak çözülemez. Bu algoritma, n yaklaşık 885 milyon olana kadar daha uzun sürer. Ama gerçekten kimin umrunda? Bu noktada, her iki algoritmanın da aldığı yıl sayısı 9.000 basamaklı bir sayıdır.