Monte Carlo Pi Tahmininin Yanlış Anlaşılması

Monte Carlo entegrasyonunun nasıl çalıştığını anladığımdan oldukça eminim ama Pi'yi tahmin etmek için nasıl kullanıldığının formülasyonunu anlamıyorum. Bu sunumun 5. slaydında belirtilen prosedüre gidiyorum http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Ön adımları anlıyorum. Pi birim çemberin dörtte birinin alanının 4 katıdır. Ve birim çemberin sağ üst çeyreğinin (0,0) merkezli alanı, birim çemberin sağ üst çeyreği olan eğrinin integraline eşittir. $0<x<1$ ve $0<y<1$ .

Anlamadığım şey bu integralin nasıl olduğu

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

burada $P(x,y)$ birim karede çeyrek daire etrafında eşit olarak dağıtılır (yani, eğer $0<x<1$ ve $0<y<1$ ve 0 ise her zaman 1'e eşittir ). Yani bu $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
birim çemberinin $0<x<1$ ve $0<y<1$ ancak gösterge fonksiyonunun sadece 1 veya 0 olabileceğinden bunun nasıl doğru olduğunu anlamıyorum. Monte Carlo örneklemesini kolaylaştırmak için muhtemelen bu şekilde yazıldığını anlıyorum (yani bir beklenti, yani sadece $P(x,y)$ ve uygulanan örneklerin ortalamasını alın $I((x^2+y^2)<1)$ ) ancak bu integralin neden bu eğrinin altındaki alanı temsil ettiğini sezgisel olarak anlamlandırmıyor.

Birisi bunun sezgisel bir açıklamasını yapabilir. Belki bu integralin adım adım nasıl elde edildiğini gösterebilirim?

DÜZENLE:

Beklentiyi bir alanla ilişkilendirerek daha iyi anlayabildim. Herkese yardımcı olması durumunda burada açıklayacağım. İlk önce Pi'yi birim çemberin sağ üst çeyreği alanıyla ilişkilendirerek başlayın

$\pi=4\times A_{tr}$

Sonra sağ üst çeyreği birim kareye yerleştiriyoruz. Ve birim kare üzerinde tekdüze bir dağılım altında, daire çeyreğinin alanı, ondan bir numune alma olasılığı ile orantılıdır. Aşağıdaki eşitlik

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

ve $A_{square}=1$ yani

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

Ve orijinal denklemin yerine

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

ve orijinal çift katlı integrale eşit olan olduğu doğrudur . $P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Bu yüzden alanı bir olasılıkla ilişkilendirerek, o olasılığı integrale denk bir beklentiyle ilişkilendirerek anladım. Herhangi bir hata yapıp yapmadığımı bana bildirin.

monte-carlo indicator-function

— user1893354
kaynak

Yanıtlar:

Yarıçapı olan bir daire çemberinin alanı eşittir . Çemberin dörtte birinin alanına sahip olduğu anlamına gelir . Bu, dairenin yarıçapı yan olan olduğu kare anlamına gelir . $l$ $\pi l^2$ $l^2\pi/4$ $area=l^2$

Bu, dairenin dörtte biri ile kare alanı arasındaki oranın . $\pi/4$

ise bir nokta karedir . ve ise dairenin çeyreğindedir . $(x,y)$ $0<x<1, 0<y<1$ $0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

İntegraliniz Tam olarak çeyrek daire ile tanımlanan alandır. $∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

resim açıklamasını buraya girin

— Donbeo
kaynak

Sanırım integralin içindeki terimler ve eğrinin kendisi arasında bir bağlantı kurarak zor zamanlar geçiriyorum. Farklı x ve y değerleri için I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) çizdiyseniz, eğriyi alamazsınız. Neden?

— user1893354

{(x, y) : (x^{2} + y^{2} < 1), (0 < x < 1), (0 < y < 1)}

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$ , dairenin çeyreğindeki noktalardır. Bu noktaları

— çizmeye çalışmanızı öneririm

Buna katılıyorum. Ancak I (.) Gösterge fonksiyonunu uyguladığınızda, hepsi 1 veya 0'a itilir

— user1893354

Ne demek istiyorsun?

— Donbeo

Bir integraldeki gösterge fonksiyonu, integralin nerede hesaplanacağı eğrilerini tanımlamanın başka bir yoludur.

\int_{q u a r t e r o f c i r c l e} = \int 1 (x^{2} + y^{2} < 1) * 1 (0 < x < 1) * 1 (0 < y < 1)

$\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

— Donbeo

En basit sezgisel açıklama 'nın anlaşılmasına dayanır . Böylece, . Çift integal'in sadece bir olasılık olduğunu anladıktan sonra , birim kareden ve örnekleyebilmeniz ve olan çizimlerin oranını hesaplayabilmeniz sezgisel bir anlam ifade etmelidir . $E(I(A)) = P(A)$ $\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$ $x$ $y$ $x^2 + y^2 <1$

Belki de anlayışınızdan eksik olan bir diğer sezgi alanı ve olasılık arasındaki bağlantıdır. Tüm birim karenin alanı 1 olduğundan ve noktalar kare içinde eşit olarak dağıtıldığı için , birim karedeki herhangi bir bölgesinin alanı, rastgele seçilen bir noktanın içinde olma olasılığına karşılık gelecektir . $(x,y)$ $A$ $A$

— jsk
kaynak

Ben de öyle anlıyorum. Ama Pi = 4x (çeyrek dairenin alanı) formülasyonuna bağlarken sorun yaşıyorum. Alanları örneklerle karşılaştırmak gerçekten sezgisel bir anlam ifade etmiyor. Bağlantının tekdüze bir dağılım altında örnek sayısının alanla orantılı olduğunu düşünüyorum.

— user1893354

@ user1893354 Yanıt revize edildi. Bunun sezginize yardımcı olup olmadığını bize bildirin.

— jsk

Bu sörf CV'sine indim ve Monte Carlo'nun kodunun Octave'de olduğunu görüyorum. OP'de integrallerin kısıtlamaları altında düzleminde çok değişkenli bir tekdüze dağılım olarak sayısının türetilmesi fikrini elde eden R'de bir simülasyonum var : $\pi$ $[0,1]$

Bir dairenin çeyreğinin 1 birim kare içine alındığı göz önüne alındığında, alan . Kare eşit olarak dağıtılmış noktaları üreten yüzden , tüm kare halılar sona erecek ve yerine hesaplanmasıyla entegre için eşit olacak sadece kesri seçtiğimiz için daire içindeki noktaların birim kareye göre: $\pi/4$ $(x,y)$ $1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$ $∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Yarıçap içine düşen değerleri 10.000 çekilişte çizebiliriz:

Ve doğal olarak, daha fazla nokta seçerek yaklaşabiliriz. 1 milyon puanla:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

çok yaklaşık bir sonuç. İşte konu:

— Antoni Parellada
kaynak