Ters Wishart dağılımlı bir matrisin köşegeninin marjinal dağılımı

olduğunu varsayalım . Köşegen elemanların marjinal dağılımı ile ilgileniyorum . alt maddelerinin dağılımı konusunda birkaç basit sonuç vardır (en azından bazıları Wikipedia'da listelenmiştir). Bundan, köşegen üzerindeki herhangi bir elemanın marjinal dağılımının ters Gamma olduğunu anlayabilirim. Ancak ortak dağılımı tespit edemedim. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Gibi kompozisyon tarafından türetilmiş olabileceğini düşündüm, gibi:

p (x_{11} | x_{ben ben}, ben > 1) p (x_{22} | x_{ben ben}, ben > 2) ... p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

ama onunla hiçbir zaman bir yere gelmedim ve daha basit bir şey eksik olduğumdan şüpheleniyorum; Bu "bilinmesi gereken" biliniyor gibi görünüyor ama ben onu bulamadım / gösteremedim.

distributions probability pdf

— JMS
kaynak

Bilodeau ve Brenner'in 7.9 önerisi (pdf web üzerinde serbestçe bulunur) Wishart için umut verici bir sonuç verir (belki de ters Wishart için geçerlidir). Eğer bölme olarak bloklarda ve ardından

gibidir, Wishart olan

ve bağımsızlar.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— shabbychef

Bu önerme, sadece tüm matrisi biliyorsanız, geçerlidir: eğer sadece köşegen varsa, o zaman örneğin

bilmiyorsunuz

X_{12}

$X_{12}$ , bu yüzden dönüşümü yapamıyorsunuz.

— petrelharp

Genel olarak herhangi bir kovaryans matrisini Burada , birim köşegenleri olan korelasyon matrisidir . Bu nedenle, köşegen girişleri şimdi köşegen varyasyon matrisinin bir parçası . Varyans matrisinin köşegen olmayan girişleri sıfır olduğundan , aradığınız ortak dağıtım, her köşegen girişindeki marjinal dağılımın ürünüdür.

Σ = diag (Σ) S diag (Σ)^{⊤} = D S D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Şimdi boyutlu bir kovaryans matrisi için standart ters Wishart modelini düşünün $d$ $\Sigma$

Σ \sim I W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

nin köşegen unsurları marjinal olarak $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{i i} \sim inv- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{i i}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Burada, farklı varyans-korelasyon dağılımlarına ayrışan kovaryans matrisi için çeşitli önceliklere sahip güzel bir referans verilmiştir .

— user3303
kaynak