Gauss dağılımının örnek basıklığının dağılımı için kapalı form ifadesi

Gauss dağılımından örneklenen verilerin Örnek Basıklığı'nın dağılımı için kapalı biçimli bir ifade var mı? yani

$P(\hat{K}<a)$ burada örnek basıklıktır.$\hat{K}$

Kesin örnekleme dağılımı türetmek zordur; ilk birkaç an (1929'a kadar uzanan), çeşitli yaklaşımlar (1960'ların başına kadar uzanan) ve genellikle simülasyona dayanan (1960'lara kadar uzanan) tablolar olmuştur.

Daha spesifik olmak gerekirse:

Fisher (1929) normal örneklerde çarpıklığın ve basıklığın örnekleme dağılım anlarını verirken Pearson (1930) (ayrıca) çarpıklığın ve basıklığın örnekleme dağılımının ilk dört anını verir ve bunlara dayalı testler önerir.

Örneğin :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Eğiklik olan$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Aşırı basıklık olan .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Dikkat - anlar ve benzeri değerler kullanılan örnek basıklığın tam tanımına bağlıdır. Örneğin veya için farklı bir formül görürseniz , bunun nedeni genellikle örnek basıklıktan biraz farklı bir tanım olacaktır.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

Bu durumda, yukarıdaki formüller .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) normal örneklerde kurtosisin örnekleme dağılımını Pearson tip IV veya Johnson dağılımı ile tartışmaktadır (şüphesiz ilk dört anın otuz yıl önce verilmesinin sebebi büyük ölçüde Pearson ailesini mümkün kılmaktı) .$S_U$

Pearson (1965), bazı değerleri için basıklık persantilleri için tablolar verir .$n$

D'Agostino ve Tietjen (1971) basıklık için daha kapsamlı yüzdelik tablolar vermektedir.

D'Agostino ve Pearson (1973), yine daha kapsamlı vakaları kapsayan basıklık yüzde noktalarının grafiklerini vermektedir.

Fisher, RA (1929),
"Örnekleme Dağılımlarının Anları ve Ürün Anları,"
Londra Matematik Derneği Bildirileri , Seri 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Normallik için testlerin daha da geliştirilmesi,"
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Momentleri kullanarak olasılık dağılımlarına yaklaşmada ortaya çıkan bazı problemler,"
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
" Normal örneklerde ve yüzde noktalarının tabloları : Yuvarlama," Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB ve Tietjen, GL (1971),
" Küçük numuneler için simülasyon olasılık noktaları ," Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB ve Pearson, ES (1973),
"Normallikten ayrılma testleri. ve ," Biometrika , 60 , 613-622'nin dağılımı için ampirik sonuçlar .$b_2$$\sqrt{b_1}$

Normal bir numune örnek Basıklık yaklaşık varyansı sıfır ortalama normal olarak dağıtılan , burada numune boyutu (doğal olarak, daha büyük daha uyumlu hale getirilmesi. Varyans için daha fazla karmaşık ifadeler olabilir wikipedia sayfasında bulundu ). Küçük boyutlu (<40) Gauss örnekleri için yüzdelikler bu makalede türetilmiştir: Lacher, DA (1989). Çarpıklık ve basıklık örnekleme dağılımı. Klinik kimya, 35 (2), 330-331.$\approx 24/n$$n$$n$