FIFA Panini albümümü tamamlamak için kaç tane çıkartmaya ihtiyacım var?

Genellikle futbol dünya kupası, Avrupa şampiyonası ve diğer turnuvalar için yayınlanan klasik Panini albümlerinin İnternet uyarlaması olan FIFA Panini Çevrimiçi Etiket Albümünü oynuyorum .

Albümde 424 farklı çıkartma yer alıyor. Oyunun amacı, tüm 424'ü toplamaktır. Çıkartmalar, çevrimiçi olarak bulunan kodlarla (veya klasik basılı albüm için yerel gazete bayiinizde satın alındığında) elde edilebilecek 5'lik paketler halinde gelir.

Aşağıdaki varsayımları yapıyorum:

Tüm çıkartmalar aynı miktarda yayınlanır.
Bir çıkartma paketi kopya içermez.

424 benzersiz etiketin hepsine sahip olduğumdan (% 90 diyelim) makul olarak emin olmak için ne kadar çıkartma paketi almam gerektiğini nasıl öğrenebilirim ?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
kaynak

Kupon-toplayıcı sorunuyla ilgili diğer soruları okumaktan bazı görüşler alınabilir .

— Glen_b -Reinstate Monica,

700 paket gerekir; 424 çıkartmanın tümünü elde etme şansı% 90.0024'e eşittir. Şansı% 95'e,% 99'u 898'e getirmek için 761 gerekmektedir. (

— Kümeyi

İlk varsayımın yapılabileceğinden emin değilim. "Shinies" daha nadir olma eğilimindedir.

— James

Hmm, Asuranceturix'in yayınladığı belgeden okuyabildiğim kadarıyla, önemli bir fark olmadığını kanıtladılar.

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal Düzeltildi stand.

— James

Yanıtlar:

Bu güzel bir Kupon Koleksiyoncusu Sorunu, çıkartmaların 5'li paketlerde geldiği gerçeğiyle ilgili küçük bir bükümle.

Çıkartmalar ayrı ayrı satın alındıysa, sonuçta, burada görebileceğiniz gibi bilinir .

Bireysel olarak satın alınan etiketler için% 90 üst sınır için yapılan tüm tahminler aynı zamanda 5'lik bir paket ile problem için üst sınırlardır, ancak daha az yakın bir üst sınırdır.

5 bağımlılık paketi kullanarak daha iyi bir% 90 olasılık üst sınır almanın çok daha zor olacağını ve size çok daha iyi bir sonuç vermeyeceğini düşünüyorum.

Bu nedenle, kuyruk tahmini kullanan ile ve , sen almak gerekir iyi bir cevap. $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

Makale "grubu, çizimler ile kollektör sorunu" (Wolfgang stadje), Assuranceturix getirdiği maddeye referans sunar "etiket paketleri" ile kupon Koleksiyoner sorun için kesin bir analitik çözümü.

Teoremi yazmadan önce, bazı gösterim tanımları: , olası tüm çıkartmaların kümesi olacaktır,. , sizi ilgilendiren subset olacaktır (OP'de, ) ve. Biz, değiştirilmesi ile, çizmek için gidiyoruz rastgele alt kümeleri farklı çıkartma. , bu alt grupların en az birinde görünen elementlerinin sayısı olacaktır . $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Teorem şöyle diyor:

P (X_{k} (bir) = n) = (\binom{l}{n}) Σ_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

Öyleyse, OP için ve . Klasik kupon toplayıcısının problemi (729 paket) tahmininin yakınındaki değerleriyle bazı denemeler yaptım ve için% 90.02 olasılığını 700'e eşitledim . $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Yani üst sınırdan o kadar uzak değildi :)

— Jundiaius
kaynak

Ve bu iyi cevap olur mu?

— ziggystar

Yaklaşık 3642 rastgele çıkartma. Bu nedenle, "5 problem paketi" için üst sınır 729 paketten daha az bir şey olacaktır.

— Jundiaius

Geçen gün yakından ilgili bir soruyu ele alan bir bildiriyle karşılaştım:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Doğru anlamış olsaydım, satın almanız gereken beklenen paket sayısı şöyle olurdu:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Bununla birlikte, yorumlarda belirtildiği gibi, OP'nin sorduğu belirli soru, erişimi açık olmayan başka bir makalede ayrıntılı olarak ele alınmaktadır.

Son sonuçları şu stratejiyi ortaya koyuyor (660 çıkartma albümü için):

100'lük 5 paketlik bir kutu satın al (500 etiket, hepsi farklı garantilidir)
40 tane daha 5 çıkartma paketi daha satın alın ve kopyaları en fazla 50 tane eksik çıkartma yapana kadar değiştirin.
Kalan etiketleri doğrudan Panini'den satın alın (bu ücretler yaklaşık 1,5 katıdır).

Bu toplam 140 paket + en fazla 155 pakete eşdeğer, hedeflenen tarzda satın alınan etiketlere değer (15 adete kadar) ekstra paket .

— Asuranceturix
kaynak

Harika! Sonuçlarının merkezi argümanının , ne yazık ki açık erişime açık olmayan “Koleksiyoncunun grup çizimleriyle sorunu” makalesinde olacağı görülüyor .

— Jundiaius

Haha, bu harika! Ayrıca değiştirmenin sonucu nasıl etkilediğiyle ilgili ayrıntılı bilgi veriyorlar (soruyu bıraktım). Çok ilginç, teşekkürler!

— Vidar S. Ramdal

OP'nin makalenin sağladığı problemin çözümünü özetleyebilir misiniz? Bağlantılar bazen zaman aşımına uğrar ve sonra bu cevap daha az kullanışlı hale gelir.

— Andy,

@Andy: Endişenizi gidermek için cevabı değiştirdim, ancak asıl sorunun cevabı tam olarak değil. Ne yazık ki, bu cevabı sağlayan orijinal makale benim için okumak çok zor, üzgünüm.

— Asuranceturix

Sadece farklı etiketleri içeren 100 paketlik bir kutu hakkında şüpheliyim. Bu, çok az fayda sağlamak için büyük ve gereksiz imalat komplikasyonlarına neden olacak gibi görünüyor.

— jwg