Doğrusal regresyonda güven bantlarının şeklini ve hesaplamasını anlama

Bir OLS doğrusal regresyonu ile ilişkili kavisli şekilli güven bantlarının kökenini ve regresyon parametrelerinin (eğim ve kesişme) güven aralıklarıyla nasıl ilişkili olduğunu anlamaya çalışıyorum, örneğin (R kullanarak):

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

Grubun,% 2,5 kesmeyle ve% 97,5 eğim ile hesaplanan çizgilerin sınırları ile,% 97,5 kesmeyle ve% 2,5 eğim (oldukça olmasa da) ile ilişkili olduğu anlaşılmaktadır:

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

Anlamadığım iki şey var:

1. % 2,5 eğim ve% 2,5 kesmenin yanı sıra% 97,5 eğim ve% 97,5 kesmenin birleşimi ne durumda? Bunlar, yukarıda çizilen bandın dışında açıkça çizgiler oluşturur. Belki bir güven aralığı anlamını anlamıyorum, ancak vakaların% 95'inde tahminlerim güven aralığı içindeyse, bunlar olası bir sonuç gibi görünüyor mu?
2. Üst ve alt sınır arasındaki minimum mesafeyi belirleyen nedir (yani, iki çizginin kesiştiği noktaya yakın)?

Sanırım her iki soru da ortaya çıkıyor çünkü bu grupların gerçekte nasıl hesaplandıklarını bilmiyorum / anlamıyorum.

Regresyon parametrelerinin güven aralıklarını kullanarak (predict () ya da benzeri bir işlevi, yani elle) güvenerek kullanarak üst ve alt limitleri nasıl hesaplayabilirim? R'deki predict.lm fonksiyonunu deşifre etmeye çalıştım, fakat kodlama benim de ötesinde. İstatistik literatürüne veya istatistiklere yeni başlayanlar için uygun açıklamalara yönelik işaretçileri takdir ediyorum.

Teşekkürler.

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$ ) (hesaplanan el ! Yech ) kullanılarak:

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$

$s_{Y|X}$ Çift Yech! ) kullanılarak:

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$ .

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$ .

$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

Güzel soru. Bu kavramları anlamak önemlidir ve bunlar basit değildir.

Regresyon çizgisi etrafında gördüğünüz% 95 güven bantları, gerçek değer için% 95 güven aralıklarıyla üretilir. $\bar y$her bir x için o aralıkta yer alır. Yani dikey bir dilim alın, x = 50 de. Diyelim ki, regresyon bize şunu söyledi:$\bar y$ x = 50'de yaklaşık 25'tir. Güven aralığı hesaplaması, bize% 95'inin gerçek değerine güvendiğinden emin olduğumuzu söyler. $\bar y$ Bu noktada grafiğin gri alanı içindedir (yukarıdaki grafik için yaklaşık 15 ve 35).

Tüm güven aralıklarını birleştirdiğimizde, her olası x için, çıktıda gördüğünüz gri bantları verir.

Bunun fonksiyonel olarak anlamı, gerçek regresyon çizgisinin o gri bölgede bir yerde olduğundan% 95 emin olduğumuzdur.

Güven bantları her bir nokta için% 95 güven aralıkları kullanılarak hesaplandığından, müdahale için% 95 CI ile çok yakından ilgilidir. Aslında, x = 0'da gri bölgenin kenarları tam olarak% 95 CI ile çakışacak, çünkü güven bantlarını bu şekilde oluşturduk. Bu yüzden yukarıda eklediğiniz satırlar gri bandın kenarına sola çarpıyor.

Ancak, eğim biraz farklıdır. Yukarıda gördüğünüz gibi limitlere katkıda bulunur, ancak eğri ve kesişme doğrusal bir regresyonda ayrılmaz. Öyleyse, gerçekten "peki kesişme CI aralığının minimumundaysa ve eğim de en düşük seviyede ise" diyemezsiniz. Bu çizgi, birçok x için% 95 CI'lerin dışında kalan puanlar üretecektir. Bu, gerçek regresyon çizgimiz olmadığı için% 95 güvende olduğumuz anlamına geliyor.

İkinci sorunuzu ele almak için, regresyon hesaplamaları, örneğimizin ortasındaki x değerleri için daha kesindir. Aslında, en dar% 95 CI da görünecek$\bar x$. Bunun nedeni, Alexis'in cevabındaki formülde gördüğünüz gibi,$s_{{\hat y}_x}$, $(x - \bar x)$kesir payındadır. Ne zaman$x = \bar x$ bu değer sıfırdır, bu nedenle standart hata daha küçüktür.

Burada, bunlardan bazılarını görselleştirmenize yardımcı olabilecek iyi bir powerpoint var: http://www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf