34

Bunun, kitaptan çıkan bir ev ödevi problemi olduğunu söyleyerek başlayacağım. Beklenen değerleri bulmak için birkaç saat harcadım ve hiçbir şey anlamadığımı belirledim.

CDF'sine sahip olsun . Bul bu değerleri olan bulunmaktadır. $X$ $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$ $\alpha$ $E(X)$

Buna nasıl başlayacağımı bile bilmiyorum. Hangi değerinin bulunduğunu nasıl belirleyebilirim ? Ayrıca CDF ile ne yapacağımı bilmiyorum (bunun Kümülatif Dağılım Fonksiyonu anlamına geldiğini düşünüyorum). Bir frekans fonksiyonuna veya yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunuzda beklenen değeri bulmak için formüller vardır. Wikipedia, CDF'sinin olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanabileceğini söylüyor : $\alpha$ $X$ $f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Bu benim bildiğim kadarıyla. Buradan nereye giderim?

EDIT: koymak istedim . $x\ge1$

self-study expected-value

— styfle
kaynak

19

Olasılıktan gelen yorum için düzenlendi

Not bu dağıtım olasılığına sahiptir, böylece, bu durumda az olma , bu nedenle , ve ayrıca gereken artan cdf için. $F(1)=0$ $0$ $1$ $x \ge 1$ $\alpha > 0$

Eğer cdf'niz varsa, bunun gibi sürekli bir dağılımı olan anti-integral veya türevi istiyorsanız

f (x) = \frac{d F (x)}{d x}

$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$

ve ters olarak için . $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$ $x \ge 1$

Sonra bulmak için gereken beklentisi bulmak için

E [X] = \int_{1}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$

bunun olmasını sağlamak. Ben hesabı size bırakacağım.

— Henry
kaynak

3

@ henry - , bu nedenle destek 1'in altında olamaz (CDF azalan bir işlev olmadığından)

F (1) = 1 - 1^{- α} = 1 - 1 = 0

$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

— olasılık

@probabilityislogic: Kitap açısından doğru olabilirsiniz. Cevabımı değiştireceğim.

— Henry,

Yanıtınız için teşekkürler. F (x) neyi temsil eder? Olasılık yoğunluğu fonksiyonu? Cdf'nin türevi her zaman f (x) midir?

— styfle

1

gerçekten olasılık yoğunluk fonksiyonu olması gerekiyordu. Eğer cdf bir türev içeriyorsa, o zaman yoğunluktur, ancak cdf'nin her yerde bir türev bulunmadığı dağılımlar (örneğin ayrık) vardır

f (x)

$f(x)$

— Henry

1

@styfle: Varsa,

ve benzer şekilde,

diğer fonksiyonlarının beklentileri için.

E [X^{2}] = \int_{1}^{\infty} x^{2} f (x) d x

$E[X^2] = \int_{1}^{\infty} x^2 f(x)\,dx$

x

$x$

— Henry,

71

Yoğunluk fonksiyonunun kullanımı gerekli değildir

1 eksi CDF'yi entegre et

Negatif olmayan bir desteğe sahip (yani değişken yalnızca pozitif değerler için sıfır yoğunluksuz / olasılıklıdır) rastgele bir değişkeniniz varsa, aşağıdaki özelliği kullanabilirsiniz: $X$

E (X) = \int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x

$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$

Kesikli bir rastgele değişken durumunda benzer bir özellik uygulanır.

Kanıt

beri , $1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

\int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x = \int_{0}^{\infty} P (X \geq x) d x = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{X} (t) d t d x

$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$

Ardından entegrasyon sırasını değiştirin:

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{t} f_{X} (t) d x d t = \int_{0}^{\infty} {[x f_{X} (t)]}_{0}^{t} d t = \int_{0}^{\infty} t f_{X} (t) d t

$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$

Göz önüne alınarak sahte değişkendir, ya da basit bir ikame alarak ve , $t$ $t=x$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

= \int_{0}^{\infty} x f_{X} (x) d x = E (X)

$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$

atfetme

Kullandığım özel durumlar için Formülleri bölümünde Beklenen değer üzerinde makale Wikipedia'da kanıtı benim hafıza tazelemek için. Bu bölüm ayrıca ayrık rasgele değişken durum için ve ayrıca yoğunluk fonksiyonu bulunmayan durum için kanıtlar içerir.

— Firefeather
kaynak

1

+1 harika sonuç: cdf'nin integrali gerçekten basittir, üstelik türevlerden kaçınmak akıllıca olur, ne zaman yapabilirsek (bunlar integraller kadar iyi davranmazlar;). Ek: varyansı hesaplamak için cdf'yi

— loved.by.Jesus

2

Entegrasyon sırasını değiştirdiğinizde, entegrasyon limitlerini nasıl elde edersiniz?

— Zaz

Standart kanıt,

bir yoğunluğa sahip olduğunu varsaymaz .

X

$X$

— ae0709

@Zaz entegrasyon sınırlarını belirledik, böylece (t, x) uzayının aynı kısmı kaplanacak. Orijinal sınırlamalar x> 0 ve t> x'dir. Dış sınırların iç değişkene bağlı olması mümkün değildir, ancak aynı bölgeyi t> 0 ve 0 <x <t olarak tanımlayabiliriz. Buradaki bu sürecin güzel örnekleri: mathinsight.org/…

— fredcallaway

12

Sonuç uzanmaktadır inci anı sıra. İşte grafiksel bir gösterimi: $k$ $X$

— StijnDeVuyst
kaynak

8

Ben aslında ortalama düşünüyorum aksi CDF, anlamsız olduğu gibi, . $x\geq 1$ $F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

CDF'lerle ilgili "bildiğiniz", argümanı sınırsız olarak azaldıkça sıfıra yaklaştıkları ve en sonunda olarak yaklaştığıdır . Bunlar da azalmayan, bu nedenle bu araçlar için tüm . $x$ $x \to \infty$ $0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ $y\leq x$

Yani CDF'yi takarsak şunları elde ederiz:

0 \leq 1 - x^{- α} \leq 1 ⟹ 1 \geq \frac{1}{x^{α}} \geq 0 ⟹ x^{α} \geq 1 > 0 ⟹ x \geq 1 .

$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$

Bundan biz bunun için destek sonucuna is . Şimdi biz de gerektiren ima $x$ $x\geq 1$ $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ $\alpha>0$

Beklentinin hangi değerlerin mevcut olduğunu bulmak için aşağıdakilere ihtiyacımız var:

E (X) = \int_{1}^{\infty} x \frac{d F (x)}{d x} d x = α \int_{1}^{\infty} x^{- α} d x

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$

Ve bu son ifade, 'in var olması için , sırasıyla anlamına gelen sahip olmamız gerektiğini göstermektedir . Bu kolayca değerlerini belirlemek için uzatılabilir olan 'inci ham anı bulunmaktadır. $E(X)$ $-\alpha<-1$ $\alpha>1$ $\alpha$ $r$ $E(X^{r})$

— probabilityislogic
kaynak

(+1) Özellikle keskin desteğin verilen desteğin yanlış olduğunu algılaması için.

— kardinal

Yanıtınız için teşekkürler. Soruyu düzelttim. X> = 1 koymak istemiştim. Yoğunluğu elde etmek için ilk önce cdf'yi ayırt etmeyi nasıl bildiniz?

— styfle

@styfle - Çünkü, ne zaman bir CDF sürekli ve ayırt edilebilirse, PDF budur. Bunu, CDF’nizi nasıl tanımladığınıza bakarak görebilirsiniz. Bir integrali ayırt etmek sadece üst limit farklılaşmanın konusu olduğunda size integrali verir.

— Olasılık

1

@styfle - the PDF can also be seen as the probability that a RV lies in an infinitesimal interval.

P r (x < X < x + d x) = F (x + d x) - F (x) \to \frac{d F (x)}{d x} d x = f (x) d x

$Pr(x<X<x+dx)=F(x+dx)-F(x)\to \frac{dF(x)}{dx}dx=f(x)dx$ as

d x \to 0

$dx\to 0$ . This way holds more generally, even for discrete RV and RV without a density (the limit is just something other than a derivative)

— probabilityislogic

1

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$

— chirag nagpal
kaynak

I think you mean to let du-dx so that u=x.

— Michael R. Chernick

CDF kullanarak beklenen değeri bulun

Yoğunluk fonksiyonunun kullanımı gerekli değildir

1 eksi CDF'yi entegre et

Kanıt

atfetme