Önceki madeni para basmalarının sonuçlarının, sonraki madeni para basmalarına ilişkin inançları etkilediği istatistiksel yanlışlığın adı nedir?

Hepimizin bildiği gibi, kuyruklarla aynı derecede iniş şansı olan bir madeni parayı çevirirseniz, o zaman madeni parayı birçok kez çevirirseniz, yarısı kafa alırsınız ve yarısı kuyruk alırsınız.

Bunu bir arkadaşınızla tartışırken, madeni parayı 1000 kez çevirirseniz ve ilk 100 kez kafa attığını söyleseniz, kuyruğun iniş yapma şansının arttığını söylerlerdi (mantık tarafsızysa, o zaman bunu 1000 defa çevirdiğiniz zaman, kabaca 500 başlık ve 500 kuyruk olacaksınız, bu yüzden kuyrukların daha büyük olması gerekir).

Bunun bir yanlışlık olduğunu biliyorum çünkü geçmiş sonuçlar gelecekteki sonuçları etkilemiyor. Bu yanlışlık için bir isim var mı? Ayrıca, bunun neden yanıltıcı olduğunun daha iyi bir açıklaması var mı?

Buna Kumarbazın haksızlığı denir .

Bu sorunun ilk cümleyi, başka bir (başka) yanlışlık içeriyor:

“Hepimizin bildiği gibi, kuyruklarla aynı derecede iniş şansı olan bir madeni parayı çevirirseniz, o zaman madeni parayı birçok kez çevirirseniz, yarısı baş alırsınız ve yarısı kuyruk alırsınız .”

Hayır, bunu alamayacağız, yarı yarıya kafa alamayacağız ve yarı yarıya da izleyeceğiz. Bunu elde edersek, Kumarbaz ne de olsa yanılmayacaktı . Bu sözlü ifadenin matematiksel ifadesi şu şekildedir: Bazı "büyük" (ancak sonlu) , , burada nin sayısını gösterir. madalyonun başını atar. Yana o, sonlu de, sonlu ve bir ayrı değer . Her ne olduysa sonra fiske yapılmıştır? Ya kafaları indi, ya da değil. Her iki durumda da,n s = n $n'$ nsn′n′+1n′n′+1n$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$ Sadece "fırlatma sayısının yarısına" eşit olmayı bıraktı.

Ama belki de gerçekten demek istediğimiz "düşünülemez bir şekilde büyük" ? Sonra biz devlet$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

Fakat burada RHS ("sağ taraf") , LHS'nin ("sol taraf") sonsuzluğa geçtiği içerir . Dolayısıyla, RHS aynı zamanda sonsuzdur ve bu ifadenin söylediği şey, madalyonun sonsuz sayıda defa atılması durumunda madalyonun kafalarının kaç kez sonsuz olacağını ifade etmesidir ( bölünme ihmal edilebilir):$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

Bu esasen doğru, ancak işe yaramaz bir ifadedir ve açıkçası aklımızda olanı değil.

Toplamda, "toplam atış" sonlu olarak kabul edilip edilmediğine bakılmaksızın, sorudaki ifade geçerli değildir.

Belki de o zaman söylemeliyiz

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

Birincisi, bu, "İniş kafalarının sayısının toplam atış sayısı üzerindeki oranı, atış sayısı sonsuzluğa döndüğünde değerine eğilimlidir" anlamına gelir; bu, farklı bir ifadedir - "toplam atışların yarısı olmaz" İşte. Ayrıca, olasılık hala bazen algılanmaktadır - göreceli frekansların deterministik bir sınırı. Bu ifadedeki sorun LHS'de belirsiz bir form içermesidir: hem pay hem de payda sonsuzluğa gider. $1/2$

Hmmm, rasgele değişken cephaneliğini getirelim . Rastgele değişken tanımlayın değerini alarak eğer -inci-tura kafaları, geldi o kuyrukları çıksa. O zaman 1 i 0 n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

Şimdi en azından devlet yapabilir miyiz?

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

Hayır . Bu belirleyici bir sınırdır. dizisinin tüm muhtemel gerçekleşmelerine izin verir ve bu yüzden eşit olsa bile, bir sınırın olacağının garantisi bile olmaz . Aslında böyle bir ifade sadece dizilim üzerindeki bir kısıtlama olarak görülebilir ve fırlatmaların bağımsızlığını tahrip eder.1 /$X$$1/2$

Ne olabilir ki olduğunu bu ortalama toplamı yakınsak olasılık için ( "zayıf") (Büyük Sayılar Bernoulli -Weak Hukuku),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

ve ele alındığında, aynı zamanda neredeyse kesin bir şekilde ("kuvvetli") birleştiği de (Borel - Büyük Sayılar Güçlü Kanunu)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

Ancak bunlar ve arasındaki ilişkili olasılıkla ilgili olasılık ifadeleridir ve farkının sınırı ile ilgili değildir (yanlış ifadeye göre sıfır olmalıdır - değil). $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

Kuşkusuz, bu iki ifadeyi gerçekten anlamak ve bazılarının ("teoride" ve "pratikte") önceki ifadelerden nasıl farklı olduklarını anlamak için özel bir entelektüel çaba sarf etmeleri gerekiyor.

Bu yanlışlığın birçok adı var.

1) Muhtemelen en iyisi Kumarbazın yanıltması olarak bilinir.

2) aynı zamanda bazen ' küçük sayılar yasası ' olarak da adlandırılır ( burada da bakınız ) (çünkü nüfus özelliklerinin küçük örneklere yansıtılması gerektiği fikriyle ilgilidir) - bence bu yasa ile zıtlık için düzgün bir isim Çok sayıda, ancak ne yazık ki aynı isim Poisson dağılımına uygulanır (ve bazen matematikçiler tarafından tekrar başka bir şey ifade etmek için kullanılır), bu kafa karıştırıcı olabilir.

3) yanlışlığa inanan insanlar arasında bazen , sonuçların 'nedeniyle' olduğunu iddia etmek için bir sonuç alınmadan, özellikle de sonuçtan 'kaynaklan' olduğunu iddia eden “ ortalamalar yasası ” olarak adlandırılır. Yasalar var - hiçbir şey bir ilk dengesizliği telafi etmek için harekete geçmiyor - ilk tutarsızlığın ortadan kaldırılmasının tek yolu, kendilerinin ortalama 1/2 değerine sahip olan sonraki değerlerin hacminden kaynaklanıyor .

Adil bir madalyonun art arda atıldığı bir deneyi düşünün; izin kafaları sayısı, ve T ı kuyruk sayısı sonuna kadar gözlemlenebilir i -inci çalışma. İ = H i + T i olduğuna dikkat edin.$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

Uzun vadede (yani ), H $n\to\infty$ olasılıkla1'eyaklaşıyor$\frac{H_n}{n}$ ,E| Hn-Tn| narttıkça büyür- gerçekte sınırsız büyür; "0'a geri iten" hiçbir şey yok.$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

Stokastik mi düşünüyorsun? Adil bir madalyonun (veya adil bir kalıbın rulosunun) çevrilmesi, bu tür bir madalyonun önceki bir çevirisine bağlı olmadığından stokastiktir (yani bağımsız). Adil bir aleyhte kabul etmek gerekirse, madalyonun yüzlerce kafa ile yüzlerce kez çevrilmiş olması, bir sonraki parmağın 50/50 kafa olma şansına sahip olduğu gerçeğini değiştirmez.

Buna karşılık, bir kart destesinden bir kart çekmeyi belirli bir kart çekme olasılığı rastlantısal değildir, çünkü belirli bir kart çekme olasılığı, kartın bir sonraki çekilişe çekilme olasılığını değiştirir (değiştirilmişse, stokastik olurdu).

$X_n$$n$$X_n$$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$

$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

$Y_{900}$$N(450, 15)$

Bu nedenle, ilk 100 denemede 100 kafa gözlendikten sonra, madalyonun adil olduğu varsayımıyla, ilk 1000 denemede 500'e yakın başarı gözlemleme olasılığı artık yüksek değildir. Bunun, başlangıçtaki dengesizliğin kısa vadede telafi edilmesinin muhtemel olmadığını gösteren somut bir örnek olduğunu unutmayın.

$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

ancak ilk 100 fırlamadaki dengesizliğin etkisi uzun vadede ihmal edilebilir

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Sen atıfta olan Gambler'ın yanıltmacaya bu olmasına rağmen değil tamamen doğru.

Şeklinde ifade Gerçekten de "bir verilen assumed bu daha belirgin hale gelir, adil sikke ve bir sonuçların belirli bir diziyi gözlemler, madalyonun temel olasılıklarının tahmin budur".

Gerçekten de, " yanlışlık " sadece, çeşitli probların çeşitli ürünlerinin eşit olduğu (varsayılmış) adil paralarla ilgilidir. Bununla birlikte, bu, başka (simetrik olmayan / önyargılı) olasılık dağılımına sahip bir madeni parayla benzer vakaların aksine (çalışmanın) bir yorumu gerektirir.

Bunun (ve biraz sarmalın) daha fazla anlaşılması için bu soruya bakın .

Bu tam olarak, korelasyonun nedenselliğe işaret ettiği birçok istatistiksel çalışmada kullanılan yanlışlık gibidir . Ancak bu nedensellik ilişkisinin veya ortak bir nedenin ipucu olabilir.

Sadece şunu söylemek gerekirse, üst üste büyük miktarda kafa ya da kuyruk alırsanız , madalyonun adil olduğu varsayımını tekrar gözden geçirmekten daha iyi olacağınızı unutmayın .