İlk kez bir kafa ortaya çıkana kadar adil bir para atılır. Bunun tek sayı atımında olma olasılığı nedir?

İlk kez bir kafa ortaya çıkana kadar adil bir para atılır. Bunun tek sayı atımında olma olasılığı nedir? Bu soruna nasıl yaklaşırım?

Madalyonun ilk kez kafaya gelme olasılığını toplayın 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• vadeli bu varlık kafaları atılacak ve ilk olasılık var, oldukça açıktır.$1/2$

• terimi, üçüncü atmak veya bir dizi tth ilk kez kafaları alma olasılığıdır. Bu sekansın olasılığı . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• terimi beşinci atmak veya bir dizi TTTTH ilk kez kafaları alma olasılığıdır. Bu sekansın olasılığı . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Şimdi yukarıdaki diziyi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Bu, denk gelen geometrik bir seridir . Bunu göstermenin en kolay yolu görsel bir örnektir. Dizi ile başlayın$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Bu, denk gelen geometrik bir seridir .$1$

Bu serinin sadece çift terimlerini toplarsak, bunların .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Çift terimleri tam sekanstan çıkarırsanız, yalnızca kadar eklenmesi gereken tek terimler kalır .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Özyineli olarak düşünün - tek bir ilk kafanın olasılığı olmasına izin ve ilk kafanın olasılığı olsun . Şimdi ve biz de buna sahip kez ilk atışı kuyrukları olasılığını eşittir . Böylece ; ; .p E p O + p e = 1 p , e s o p E = 1 / 2 ⋅ p O p o + 1 / 2 ⋅ p o = 1 p o = 2 /$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$