'Karışımsız' parçaların karışım sırasına göre dağılımı

olarak eşleştirilmiş gözlemlerim olduğunu varsayalım için . Let ile ve göstermektedirler inci gözlenen en büyük değeri . ın (koşullu) dağılımı nedir? (ya da eşit şekilde, bunun ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

Olduğunu, dağılımı nedir şartına olmanın inci en büyük gözlemlenen değerlere ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Ben tahmin ediyorum bu kadar , dağılımı sadece koşulsuz dağılımına yakınsak gibi iken arasında, dağıtım , . Sıra istatistiğinin koşulsuz dağılımına yakınsar . Yine de ortada belirsizim. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
kaynak

"Karışım" etiketini kaldırdım, çünkü bu, bunların bir karışımı hakkında değil, bir toplam (veya eşdeğer, ilişkili Normal değişkenler hakkında) hakkında bir soru.

— whuber

X_{i}

$X_i$ da bağımsız olduğu varsayılır evet?

Y_{i}

$Y_i$

— kardinal

@cardinal: evet, bağımsızlar.

— shabbychef

Matematikte ortaya çıkan son ve ilgili bir soru. SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— kardinal

Matematikte yayınlanan çözüm kavramsal olarak aşağıda verdiğim çözüme özdeştir - ancak biraz farklı bir terminoloji kullanılarak formüle edilmiştir.

— NRH

Yanıtlar:

Rasgele değişken gözlemleyin bir fonksiyonudur sadece. Bir için -vector, biz bilgileri ait bir dizin için en koordinat inci. Ayrıca olsun bölgesinin ifade koşullu dağılımı verilen . $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ $Z_1$

Biz değerine göre aşağı olasılıklarını uymazsanız ve desintegrate wrt elde ederiz $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Bu argüman oldukça geneldir ve sadece belirtilen iid varsayımlarına dayanır ve herhangi bir fonksiyonu olabilir . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

Normal dağılımlarının varsayımlar altında (alarak ) ve , koşullu dağılımı toplamı olup verilen olduğu ve nasıl dağılımını hesaplayan @probabilityislogic Şekil , dolayısıyla biz, yukarıdaki son integrale giren her iki dağılım için de açık ifadeler. İntegralin analitik olarak hesaplanıp hesaplanamayacağı başka bir sorudur. Yapabilirsin, ama başımın tepesinden mümkün olup olmadığını söyleyemem. veya olduğunda asimptotik analiz $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ gerekli olmayabilir.

Yukarıdaki hesaplamanın ardındaki sezgi, bunun koşullu bir bağımsızlık argümanı olduğudur. Verilen değişkenleri ve bağımsızdır. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
kaynak

in dağılımı zor değildir ve Beta-F bileşik dağılımı tarafından verilmektedir: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Burada bir standart normal PDF ve bir standart normal CDF ve . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Şimdi bu verilirse ve ardından bir 1-to-1 fonksiyonudur , yani . Bu yüzden bunun jacobian kuralının basit bir uygulaması olması gerektiğini düşünürüm. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Bu çok kolay görünüyor, ama bence doğru. Yanlış gösterildiğim için mutluyum.

— probabilityislogic
kaynak

Soruyu yanlış anladınız. nin fonksiyonu olarak dağılımını arıyorum . Aslında ve gözlemlemiyorum ve onları koşullandıramıyorum. Varsa, wlog ve bu nedenle sadece parametrelerini dikkate .

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— shabbychef

tamam - yani temelde bu denklemden çıkarılmalı mı? (entegre)

y

$y$

— olasılık

Evet; ve Z'den bağımsız değil ...

— shabbychef