Regresyondaki araçların farkı için güven aralığı

Her zamanki varsayımları (bağımsız, normal, değerlerinden bağımsız) karşılayan hatalar ile ikinci dereceden regresyon modelim olduğunu varsayın . Let en küçük kareler tahmini olacaktır.

Y = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ϵ

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

X

$X$

b_{0}, b_{1}, b_{2}

$b_0, b_1, b_2$

İki yeni var değerlerini ve ve ben için bir güven aralığı almakla ilgilenen kulüpler . $X$ $x_1$ $x_2$ $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

Nokta tahmini ve (yanlışsam beni düzelt) Varyansı tahmin edebilirim tarafından sağlanan katsayıların varyans ve kovaryans tahminlerini kullanarak. $\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

{\hat{s}}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} Var (b_{1}) + (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})^{2} Var (b_{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) (x^{2} - x_{1}^{2}) Cov (b_{1}, b_{2})

$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$

Ben normal bir yaklaşık kullanıp sürebilir için% 95 güven aralığı olarak , yoksa bir önyükleme güven aralığı kullanabilirsiniz, ama işin bir yolu doğru dağıtım dışarı orada ve kullan? $\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$ $v$

regression confidence-interval

— mark999
kaynak

Hatalar normal kabul edildiğinden, parametre tahminleri - verinin doğrusal fonksiyonları olmakla birlikte, hataların kendileri de - normal olmalıdır, bu da için normal bir dağılım anlamına gelir .

\hat{v}

$\hat{v}$

— whuber

Normal güven aralığının doğru olduğunu mu söylüyorsunuz? Doğru anlarsam, bu mantıkla parametreler için normal güven aralıkları da kullanırdık. Ancak t dağılımına göre aralıklar kullanıyoruz.

— mark999

Hata dağılımını tahmin ettiğiniz için t dağılımı kullanılır; eğer bu bilseydi o zaman @whuber'ın dediği gibi normal bir dağılımınız olur.

— JMS

Yorumun için teşekkürler. Sorduğum şey, t dağılımı, soruda tanımlandığı gibi v için bir güven aralığı için de kullanılabilir ve eğer öyleyse kaç serbestlik derecesi ile kullanılabilir?

— mark999

Varyanslar ve kovaryansların hepsi sonuçta artıkların tahmini varyansına bağlıdır. Bu nedenle, kullanılacak DF, bu tahmindeki DF'dir, veri değerlerinin sayısına eksi parametre sayısına (sabit dahil) eşittir.

— whuber

Böyle görünüyor (belirtilen varsayımlar altında) Aradığınız genel sonucu: Doğrusal regresyon ile için tahmini değişkenleri (eğer ikisini sahip ve sonra birlikte) ve bir yolunu kesmek, gözlem, tasarımı matrisi, boyutlu tahmincisi ve $p$ $X$ $X^2$ $n$ $\mathbf{X}$ $n \times (p+1)$ $\hat{\beta}$ $p+1$ $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

\frac{a^{T} \hat{β} - a^{T} β}{\hat{σ} \sqrt{a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a}} \sim t_{n - p - 1} .

$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$

Sonuç olarak, koordinatlardan biri için bir güven aralığı oluşturmak için kullandığınız aynı dağılımını kullanarak vektörünün herhangi bir doğrusal kombinasyonu için güven aralıkları oluşturabilirsiniz. $\beta$ $t$

Sizin durumunuzda, ve . Yukarıdaki formüldeki payda, standart hatanın tahmini olarak hesapladığınız şeyin kare köküdür (yazılımın hesapladığı şey bu ise ...). Varyans tahmincisi, o Not , (olağan) tarafsız Eğer serbestlik derecesine göre bölmek tahmin edicisi, olması gerekiyordu değil, gözlem sayısı . $p = 2$ $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$ $\hat{\sigma}^2$ $n-p-1$ $n$

— NRH
kaynak

Teşekkür ederim, tam da aradığım şey bu. Ancak formülde bir hata var mı? Boyutlar eşleşmiyor gibi görünüyor . , ilk sütundakiler olan matrisi olmalı mı ?

a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a

$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$

X

$\mathbf{X}$

n \times (p + 1)

$n \times (p+1)$

— mark999

@ mark999, evet, içinde sütun var. Cevapta bunu düzelttim. Teşekkürler.

X

$\mathbf{X}$

p + 1

$p+1$

— NRH