Ki-kare testi ve Chi-kare dağılımını anlama

Ki-kare testinin ardındaki mantığı anlamaya çalışıyorum.

Ki kare testi . daha sonra sıfır hipotezini reddetmek ya da reddetmemek için bir p.value bulmak için Chi-kare dağılımı ile karşılaştırılır. : Gözlemler, beklenen değerlerimizi oluşturmak için kullandığımız dağılımdan geliyor. Örneğin, elde etme olasılığının beklediğimiz gibi ile verilip verilmediğini test edebiliriz . 100 kez ve . beklenen ile karşılaştırmak istiyoruz ( ). Binom dağılımı da kullanabiliriz fakat sorunun konusu bu değil… Soru şu: χ2H0pnH1-nH100⋅$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

Boş hipotez altında, ki-kare dağılımını izlediğini açıklayabilir misiniz ?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Ki-kare dağılımı hakkında tek bildiğim, derecesinin ki-kare dağılımının kare standart normal dağılımın toplamı olduğudur.$k$$k$

Binom dağılımı da kullanabiliriz fakat sorunun konusu bu değil…

Bununla birlikte, asıl sorunuz için bile başlangıç ​​noktamızdır. Resmi olmayan bir şekilde ele alacağım.

Binom davasını daha genel olarak ele alalım:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Varsayalım ve öyle ki de aynı ortalama ve varyans (bazı tipik şartlar daha vardır ile normal olarak yaklaşık bu küçük değildir, ya da küçük değildir).$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Sonra yaklaşık . Burada , başarıların sayısıdır.$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

Biz ve .$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(Test durumunda, bilinir ve altında belirtilir . Herhangi bir tahmin yapmıyoruz.)$n$$p$$H_0$

Yani yaklaşık .$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

olduğuna dikkat edin . Ayrıca olduğuna dikkat edin .$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Bu nedenle$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Bu sadece binom davası için ki-kare istatistiği.

Bu durumda ki-kare istatistiği (yaklaşık) standart-normal rasgele değişkenin karesinin dağılımına sahip olmalıdır.