Çarpılabilecek kararlı dağılımlar?

Kararlı dağılımlar kıvrımlar altında değişmez. İstikrarlı dağılımların hangi alt aileleri de çarpma altında kapatılır? Anlamda, eğer ve , daha sonra ürün olasılık yoğunluk fonksiyonu, (en fazla bir normalizasyon sabiti), aynı zamanda ait ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Not: Bu sorunun içeriğini önemli ölçüde değiştirdim. Ancak fikir aslında aynıdır ve şimdi çok daha basittir. Sadece kısmi bir cevabım vardı, bu yüzden bence sorun yok.

distributions convolution stable-distribution

— Becko
kaynak

Etki alanı sınırlıysa, ortalama ve varyans (aslında tüm anlar) sonlu olmalıdır. Tüm koşulları karşılayan bilinen dağıtımların varlığından ne kadar eminsiniz?

— Glen_b-Monica

@Glen_b Tüm bu koşullarla herhangi bir dağıtımın olmadığını kanıtlamak mümkünse, bu kanıtla bir cevap kabul edeceğim.

— becko

(5) 'de "sınırlı" tekdüze dağılım nedir? Bir dağıtım mı (eğer öyleyse, parametreleri nelerdir), ya da tekdüze dağılımların bir ailesi mi (eğer öyleyse, hangi aile budur)?

— whuber

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

@whuber Evet, kararlı dağılımların bir alt ailesi demek istiyorum. Haklısın, bir Gaussian kriterlerimi karşılar. Aslında başka örnekler arıyordum, ama bundan bahsetmeyi unuttum. Kriterlerimi de karşılayan başka dağıtımlar var mı? Soruyu güncelleyeceğim, daha net hale getirmeme yardımcı olduğunuz için teşekkürler.

— becko

Yanıtlar:

$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

$f$ $\alpha \lt 2$

f (x) \sim | x |^{- (1 + α)} g (sgn (x), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

$g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

Bu durumda benzersiz cevap, Normal dağılım ailesinin yoğunluk-kapalı-kapalı kararlı tek ürün olmasıdır.

— whuber
kaynak

Güzel! Bu, benzersiz bir istikrarlı ve ürünler altında kapalı olarak normal bir dağılımı tanımlamanın güzel bir yoludur . Teşekkürler

— becko

Bu kısmi bir cevap olduğunu biliyorum ve ben bir uzman değilim, ama bu yardımcı olabilir: iki unimodal pdfs biri günlük içbükey ise, o zaman onların evrimi imimodal. Ibragimov'a (1956) bağlı olarak bu notlar yoluyla . Görünüşe göre, eğer her ikisi de log-konkav ise, o zaman evrişim de log-konkav.

Ürün kapanmasına gelince, ürün dağıtımları için bildiğim tek "temiz" sonuç bu math.se cevabında açıklanan limit teoremidir .

Bunların kesilmiş bir versiyonuna ne dersiniz ? Sınırlı tekdüze dağılım, şekil parametresinin sınırlayıcı bir halidir ve bildiğim kadarıyla, tek modlu ve log içbükey olduklarından, tek modlu, log içbükey kıvrımlara sahiptirler. Ürünleri hakkında hiçbir fikrim yok. Bu hafta daha fazla zamanım olduğunda, kesilen hata dağılımlarının log-konkav ürünlerini alıp almadığımı görmek için bazı simülasyonları deneyebilirim. Belki Govindarajulu (1966) yardım ederdi.

Crossposting politikasının ne olduğundan emin değilim, ama matematik gibi görünüyor. İnsanlar da size yardımcı olabilir. Meraktan, olasılık dağılımlarından cebirsel bir yapı oluşturmaya mı çalışıyorsunuz?

— shadowtalker
kaynak

Crossposting politikası yardımın ilk sayfasında yer almaktadır. 'Lütfen çapraz postalama' yazıyor. Sorumuz için en iyi siteyi seçmeliyiz. Gerekirse bir soru taşınabilir. Bir sorunun bir kısmı farklı bir siteye daha uygunsa, soru iki ayrı soru olarak (bağlantılandırılabilir) sorulmalıdır.

— Glen_b-Monica