Ampirik bir CDF entegre etme

Ampirik bir dağılımım . Aşağıdaki gibi hesaplıyorum$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

I göstermektedirler , yani saat süre pdf G ED olup.$h(x) = dG/dx$$h$$G$

Şimdi entegrasyonun üst limiti (örneğin, ) için bir denklemi çözmek istiyorum , böylece x'in beklenen değeri biraz k olacak .$a$$x$$k$

Bu gelen entegre olan için b , Anlatmalıydım ∫ x h ( x ) D X = k . B için çözmek istiyorum .$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

Parçalara entegre ederek, denklemi şu şekilde yeniden yazabilirim:

; burada integral 0 ila b arasındadır ------- (1)$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$$0$$b$

Bence integrali aşağıdaki gibi hesaplayabilirim

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Fakat bu fonksiyonu

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

eq (1) eğlenceli olduğunda, aşağıdaki hatayı alıyorum

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

Bence sorun aralığımı geçerken fonksiyonumun intgrlsayısal bir değerle değerlendirilmesiuniroot.Allc(0,1000)

R'de bu durumda için nasıl çözmeliyim ?$b$

Sıralanan verilerin olmasına izin verin . Ampirik CDF anlamak için G , değerleri birini düşünün x i o --let çağrısı y --ve bazı numara varsayalım k bir x i olan az γ ve t ≥ 1 arasında x i eşit y . Mümkün olan tüm veri değerlerinin yalnızca γ olduğu bir aralık [ α , β $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$belirir. Daha sonra, tanımı gereği, bu aralık içinde sabit değer alır k / n az numaraları y ve sabit bir değere atlar ( k + t ) / n daha büyük sayılar için y .$G$$k/n$$\gamma$$(k+t)/n$$\gamma$

[ Α , β ] aralığından değerine katkıyı göz önünde bulundurun . Her ne kadar h bir fonksiyonu değildir - bu boyut noktası ölçümüdür t / n de y --Forum tamamlayıcı olan tanımlı bir sade ve basit entegrali haline dönüştürmek için parçaları ile entegrasyon yoluyla. Bunu [ α , β ] aralığı boyunca yapalım :$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

En süreksiz olmasına rağmen yeni integrand, , integrallenebilirdir. Değeri, G'deki atlamadan önceki ve sonraki parçalara entegrasyon alanını kırarak kolayca bulunabilir :$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

Bunu yukarıdaki yerine koymak ve verimlerini geri çağırmak$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

Başka bir deyişle, bu integral her atlamanın konumunu ( ekseni boyunca ) o atlamanın boyutuyla çarpar . Atlamanın boyutu$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

eşit olan her veri değeri için bir terim . Tüm bu tür atlar katkıları ekleme G gösterileri olduğunu$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

Buna "kısmi ortalama" diyebiliriz, bunun kısmi bir toplamın katına eşit olduğunu görür . (O olduğunu lütfen not olmayan bir beklenti Bu aralığı kesildi altta yatan dağılımının bir versiyonunun beklentisi ile ilgili olabilir. [ 0 , b ] : değiştirmek gerekir 1 / n göre faktör 1 / m burada m , [ 0 , b ] içindeki veri değerlerinin sayısıdır$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$ .)

verildiğinde , hangi b bulmak istiyorum $k$$b$$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

$b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

Raşağıdaki gibi, arama ailesini cumsumkullanarak herhangi bir belirtilen değeri geçtiği yerde kısmi toplamı hesaplar ve bulur which:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

Bu Üstel dağılımdan çekilen veri örneğindeki çıktı:

Üst sınır 0,39 ile 0,57 arasındadır

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

$G$