İki değişkenli Poisson dağılımının türetilmesi

Son zamanlarda iki değişkenli Poisson dağılımıyla karşılaştım, ancak nasıl türetilebileceği konusunda biraz kafam karıştı.

Dağıtım:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Toplayabildiğim kadarıyla, \ theta_ {0}$\theta_{0}$ terimi $X$ ve Y arasındaki korelasyonun bir ölçüsüdür $Y$; dolayısıyla, $X$ ve $Y$ bağımsız olduğunda, $\theta_{0} = 0$ ve dağılım basitçe iki tek değişkenli Poisson dağılımının ürünü haline gelir.

Bunu akılda tutarak, karışıklığım toplama terimine dayanıyor - sanırım bu terim $X$ ve Y arasındaki korelasyonu açıklıyor $Y$.

Bana öyle geliyor ki, summand, "başarı" olasılığının $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ ve "başarısızlık" olasılığı $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , çünkü $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, ama bununla uzakta olabilirim.

Birisi bu dağılımın nasıl türetilebileceği konusunda yardım sağlayabilir mi? Ayrıca, bu modelin çok değişkenli bir senaryoya (üç veya daha fazla rasgele değişken diyelim) nasıl genişletilebileceği herhangi bir cevaba dahil edilebilirse, bu harika olurdu!

(Son olarak, daha önce yayınlanmış benzer bir soru olduğunu not ettim (İki değişkenli Poisson dağılımını anlama ), ancak türetme aslında araştırılmadı.)

Bir de sürgü sunum Karlis ve Ntzoufras dağılımı gibi bir çift değişkenli Poisson tanımlar burada bağımsız olarak mı, Poisson dağılımlar. Böyle bir dağıtım aracına sahip olmanın$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

için$k=0, 1, 2, \ldots.$

Olay olayların ayrık birleşimidir$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

üç bileşeni de negatif olmayan tamsayı yapan tüm için , sonucunu çıkarabiliriz . Çünkü onların olasılıklar çarpın bağımsızdır, nereden$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Bu bir formül; İşimiz bitti. Ancak sorudaki formüle eşdeğer olduğunu görmek için, bu olasılıkları parametreleri ( sıfır olduğu varsayılarak) olarak yazmak için Poisson dağılımının tanımını kullanarak cebirsel olarak yeniden çalışın ürünü gibi olabildiğince fazla bakmak için :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Gerçekten istiyorsanız - biraz müstehcen - binom katsayıları Ve kullanarak toplamdaki terimleri tekrar ifade edebilirsiniz. , çıktı$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

tam olarak sorudaki gibi.

---

Çok değişkenli senaryolara genelleme, gereken esnekliğe bağlı olarak birkaç şekilde ilerleyebilir. En basit olanı,

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

bağımsız Poisson dağıtımı için değişkenleri . Daha fazla esneklik için ilave değişkenler eklenebilir. Örneğin, bağımsız Poisson değişkenleri ve , nin çok değişkenli dağılımını düşünün$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

İki değişkenli poisson dağılımını türetmenin bir yolu.

Let parametreleri ile bağımsız Poisson rasgele değişkenler . Sonra . Değişken hem ortak bir , çift neden olur orantılı olduğunu göstermektedir. O zaman olasılık kütle işlevini hesaplamalıyız:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Umarım bu yardımcı olur!