Oran verisini dönüştürme: arcsin karekökü yeterli olmadığında

Yüzde / orantı verileri için arsin kare kök dönüşümüne (daha güçlü?) Bir alternatif var mı? Şu anda üzerinde çalıştığım veri setinde, bu dönüşümü uyguladıktan sonra belirgin heteroseladastisite kalıyor, yani artık değerlere karşı yerleştirilmiş değerlerin çizimi hala çok fazla bakımlı.

Yorumlara yanıt vermek için düzenlendi: veriler, bir bağışın% 0-100'ünü% 10'un katlarına yatırabilecek deneysel katılımcıların yatırım kararlarıdır. Ayrıca bu verilere sıralı lojistik regresyon kullanarak baktım, ancak geçerli bir glm'nin ne üreteceğini görmek istiyorum. Ayrıca, cevabın gelecekteki işler için yararlı olduğunu görebiliyordum, çünkü arcsin karekökü alanımdaki tüm çözümlere tek boyutlu bir çözüm olarak kullanılmış gibi görünüyor ve çalışan herhangi bir alternatifle karşılaşmamıştım.

Elbette. John Tukey, EKA'da bir (artan, bire bir) dönüşümler ailesini anlatıyor . Bu fikirlere dayanmaktadır:

1. Bir parametre tarafından kontrol edilen kuyrukları (0 ve 1'e doğru) uzatabilme.

2. Yine de ortada (yakın orijinal (dönüştürülmemiş) değerleri eşleştirmek için $1/2$ yorumlamak dönüşümü kolaylaştırır).

3. İlgili yeniden ekspresyonu, simetrik hale getirmek için $1/2.$ ise, bir $p$ yeniden ifade edildiği gibidir $f(p)$ , daha sonra $1-p$ yeniden ifade edildiği gibi olacaktır $-f(p)$ .

Herhangi bir artan monotonik fonksiyonla başlarsanız $g: (0,1) \to \mathbb{R}$$1/2$ ayırt edilebilir, ikinci ve üçüncü kriterleri karşılayacak şekilde ayarlayabilirsiniz: sadece tanımlayın

Pay açıkça simetriktir (kriter $(3)$ ), çünkü $p$$1-p$ ile değiştirilmesi çıkarma işlemini tersine çevirir, böylece onu reddeder. Görmek için $(2)$ payda yapmak için gereken faktör tam olarak memnun olduğunu not $f^\prime(1/2)=1.$ olduğunu hatırlayın türevi yaklaşık olarak eşit bir doğrusal fonksiyonu ile bir fonksiyonu lokal davranış; $1=1:1$ eğim, böylece $f(p)\approx p$(artı bir sabit $-1/2$ ) $p$ yeterince yakın olan $1/2.$ Bu orijinal değerleri edildiği anlamda "ortasına yakın eşleşti."

Tukey buna $g$ "katlanmış" versiyonu diyor . Ailesi güç oluşur ve dönüşümler log $g(p) = p^\lambda$ zaman, $\lambda=0$ , düşündüğümüz $g(p) = \log(p)$ .

Bazı örneklere bakalım. Tüm $\lambda = 1/2$ katlanmış, kök ya da almak için "Froot," $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. $\lambda = 0$olduğunda, katlanmış logaritma veya "flog,"$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Açıkçası bu,logitdönüşümününsabit bir katıdır,$\log(\frac{p}{1-p})$.

Bu grafikte mavi çizgi karşılık için $\lambda=1$ , ara madde kırmızı çizgi $\lambda=1/2$ , ve aşırı yeşil hat $\lambda=0$ . Kesikli altın hattı, Ark dönüşümdür $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. Eğimlerin "eşleşmesi" (kriter$(2)$), tüm grafiklerinp=1/2'yedenk gelmesine neden olur.$p=1/2.$

$\lambda$ parametresinin en yararlı değerleri $1$ ile $0$ arasındadır . (Sen negatif değerleri ile kuyrukları daha da ağır yapabilir $\lambda$ , ancak bu kullanım nadirdir.) $\lambda=1$ değerlerine Yakınlaştır dışında hiç bir şey yapmaz ( $f(p) = p-1/2$ ). Olarak $\lambda$ sıfıra doğru küçülür kuyrukları doğru çekilmeye olsun $\pm \infty$ . Bu, # 1 numaralı kriteri karşılar. Böylece, uygun bir $\lambda$ değeri seçerek kuyruklarda bu yeniden ifadenin "gücünü" kontrol edebilirsiniz.

Dahil etmenin bir yolu, dizinlenmiş bir dönüşüm eklemektir. Genel bir yol, herhangi bir simetrik (ters) kümülatif dağılım fonksiyonunun kullanılmasıdır, böylece ve F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Bir örnek, ν serbestlik derecesine sahip standart öğrenci dağılımıdır . V parametresi dönüştürülen değişkenin sonsuza kadar ne kadar çabuk uzaklaştığını kontrol eder. V = 1 değerini ayarlarsanız , arktan dönüşümünüz olur:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Bu, arkinden çok daha fazla ve logit dönüşümünden daha aşırıdır. Logit dönüşümünün, ile t dağılımı kullanılarak kabaca tahmin edilebileceğini unutmayın . SO bir şekilde logit ve probit ( ν = ∞ ) dönüşümleri arasında yaklaşık bir bağlantı ve bunların daha aşırı dönüşümlere genişletilmesini sağlar.$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

Bu dönüşümlerle ilgili sorun , gözlenen oran 1 veya 0'a eşit olduğunda vermeleridir . Yani bir şekilde bunları bir şekilde küçültmeniz gerekiyor - en basit yol + 1 "başarı" ve + 1 "başarısızlık" eklemektir .$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$