Analitik olarak, bir miktarı rastgele bölmenin üssel bir dağılıma (örneğin gelir ve servet) neden olduğunu nasıl kanıtlayabilirim?

BİLİM'in bu güncel makalesinde aşağıdakiler önerilmektedir:

Diyelim ki rasgele bir şekilde 500 milyon kişiyi gelir ile 10.000 kişi arasında paylaştırın. Herkese eşit, 50.000 pay vermenin tek yolu var. Eğer kazancınızı rastgele dağıtıyorsanız, eşitlik son derece düşüktür. Ancak, birkaç kişiye çok para vermenin ve birçok kişiye hiç ya da hiçbir şey vermenin sayısız yolu vardır. Aslında, geliri dağıtabileceğiniz tüm yollar göz önüne alındığında çoğu, katlanarak gelir dağılımı sağlar.

Bunu, sonucu tekrar doğrulayan görünen aşağıdaki R kodu ile yaptım:

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45, xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", pch=16, add = TRUE)

Sorum
, analitik olarak ortaya çıkan dağılımın gerçekten de üstel olduğunu nasıl ispatlayabilirim?

Ek
Cevap ve yorumlarınız için teşekkür ederiz. Sorun hakkında düşündüm ve aşağıdaki sezgisel akıl yürütme ile geldi. Temel olarak aşağıdakiler olur (Dikkat: ileride basitleştirme): Miktar boyunca ilerlersiniz ve (bozuk) bir yazı tura atarsınız. Örneğin her kafa kafaya geldiğinde miktarı bölüştürürsün. Sonuçta ortaya çıkan bölümleri dağıtırsınız. Kesikli durumda, madeni para atma binom dağılımını takip eder, bölümler geometrik olarak dağılır. Sürekli analoglar sırasıyla poisson dağılımı ve üstel dağılımdır! (Aynı nedenden ötürü, geometrik ve üstel dağılımın neden ezberlik özelliğine sahip olduğu da sezgisel olarak anlaşılır - çünkü madalyonun da hafızası yoktur).

Sorunu daha basit hale getirmek için, her bir kişinin payının izin verilen değerlerinin, örneğin tamsayılar gibi ayrık olduğu durumunu düşünelim. Aynı şekilde, bir "gelir eksenini" eşit aralıklı aralıklara bölmeyi ve tüm değerlerin orta nokta tarafından verilen bir aralığa düşenlere yaklaşmayı hayal edebilir.

Toplam gelir gösteren , s olarak değeri izin inci x s , olarak toplam kullanıcı sayısını N , ve son olarak, payları kişi sayısı x s olarak n s , aşağıdaki şartın yerine getirilmesi gerekmektedir: Cı 1 ( { n s } ) ≡ Σ s n s - N = 0 , ve Cı- 2 ( { n s } ) ≡ Σ s , n $X$$s$$x_{s}$$N$$x_{s}$$n_{s}$

$$\begin{equation} C_{1} (\{n_{s}\})\equiv\sum_{s} n_{s} - N = 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} C_{2} (\{n_{s}\})\equiv \sum_{s} n_{s} x_{s} - X = 0. \end{equation}$$

Payı bölmenin birçok farklı yolunun aynı dağıtımı temsil edebileceğine dikkat edin. Örneğin, bölme görüldüğü takdirde $ veren, iki kişi arasındaki 4 $ Alice 3 ve $ Bob ve tam tersi iki özdeş dağılımları verecek 1. Bölünme rastgele olduğu için, payı bölüşmenin maksimum sayıda karşılık gelen yolla dağılımı en iyi şansı verir.

Böyle bir dağılım elde etmek için, kişi yukarıda verilen iki kısıtlama altında. Lagrange çarpanları yöntemi bunun için kanonik bir yaklaşımdır. Ayrıca, bir çalışmayı seçebilirlnByerineB"olarak, kendi başınaln" monoton artan bir fonksiyon olmasıdır. Yani, ∂ln

$$\begin{equation} W(\{n_{s}\}) \equiv \frac{N!}{\prod_{s} n_{s}!}, \end{equation}$$ $\ln W$$W$$\ln$λ1,2çarpanları. Bildirim ona göreStirling'in formülü, lnn! ≈nlnn-n, yol dlnn $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} + \lambda_{2} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} + \lambda_{2} x_{s}, \end{equation}$$ $\lambda_{1,2}$ $$\begin{equation} \ln n! \approx n\ln n - n, \end{equation}$$ Bu nedenle, ∂ln $$\begin{equation} \frac{d\ln n!}{dn} \approx \ln n. \end{equation}$$ Daha sonra, aşağıdaki bu ns≈exp(-λ1-λ2xs), bir üstel dağılım olan. Biri, kısıtlamaları kullanarak Lagrange çarpanlarının değerlerini elde edebilir. İlk kısıtlamadan $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} \approx -\ln n_{s}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} n_{s} \approx \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big), \end{equation}$$ buradaΔxizin verilen değerler arasındaki boşluktur. Benzer şekilde, $$\begin{equation} \begin{split} N &= \sum_{s} n_{s} \approx \sum_{s} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big), \end{split} \end{equation}$$ $\Delta x$ Bu nedenle, exp(-λ1)=N2Δ $$\begin{equation} \begin{split} X &= \sum_{s} n_{s}x_{s} \approx \sum_{s} x_{s}\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} x\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}^{2}\,\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big). \end{split} \end{equation}$$ ve λ2= $$\begin{equation} \exp\big(-\lambda_{1}\big) = \frac{N^{2} \Delta x}{X}, \end{equation}$$ Bu gerçekten maksimum yerine bir minimum veya bir eyer nokta O, Hessian görülebildiği arasındalnB-λ1Cı1-λ2Cı-2. ÇünküC1,2lineerdir, nsbunun aynıdır,lnB: ∂ 2 ln $$\begin{equation} \lambda_{2} = \frac{N}{X}. \end{equation}$$ $\ln W - \lambda_{1} C_{1} - \lambda_{2} C_{2}$$C_{1,2}$$n_{s}$$\ln W$ ve ∂2ln $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}^{2}} = -\frac{1}{n_{s}} < 0, \end{equation}$$ Bu nedenle, Hessian içbükey ve bulduğumuz gerçekten bir maksimum. $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}\partial n_{r}} = 0 \quad (s\neq r). \end{equation}$$

$W(\{n_{s}\})$$W(\{n_{s}\})$$n_{s}\gg 1$$n_{s}$

$N\sim 10^{23}$

Aslında bunun önemsiz olmadığını, neredeyse önemsizce olduğunu kanıtlayabilirsiniz:

$500$$500$

Bununla birlikte, tek tip boşluk örneğiniz için üstelin yakın olması gerektiğini görmek zor değil.

Poisson sürecini düşünün - olayların bazı boyutlar boyunca rastgele gerçekleştiği yerler. Aralığın birimi başına düşen olay sayısı bir Poisson dağılımına sahiptir ve olaylar arasındaki boşluk üsseltir.

Sabit bir aralık alırsanız, içine giren bir Poisson işlemindeki olaylar aralık içinde eşit olarak dağıtılır. Buraya bakınız .

[Ancak, aralığın sınırlı olduğu için, aralık uzunluğundan daha büyük boşlukları gözlemleyemezsiniz ve neredeyse o kadar büyük boşlukların olması muhtemel olmaz (örneğin, bir birim aralığındaki boşlukları düşünün - 0,04 ve 0,01, bir sonraki boşluk 0,95'ten büyük olamaz).]

$n$

$n$$n+1$$n$

Daha spesifik olarak, Poisson işlemi üzerine yerleştirilen aralıkta başlayan herhangi bir boşluğun, aralığın sonuna kadar girerek "sansürlenme" (etkili bir şekilde olması gerekenden daha kısa kesilmesi) şansı vardır.

$\hspace{1cm}$

Daha uzun boşlukların bunu daha kısa olanlardan daha yapma olasılığı daha yüksektir ve aralıktaki daha fazla boşluk ortalama boşluk uzunluğunun düşmesi gerektiği anlamına gelir - daha kısa boşluklar. Bu “kesilme” eğilimi, kısa aralıklardan daha uzun aralıkların dağılımını etkileme eğiliminde olacaktır (ve aralıkla sınırlı herhangi bir aralığın aralığın uzunluğunu aşma şansı yoktur - bu nedenle boşluk büyüklüğünün dağılımının düzgün bir şekilde azalması gerekir. tüm aralığın boyutunda sıfıra).

Diyagramda, uçtaki uzunca bir aralık daha kısa kesilmiş ve başlangıçtaki nispeten daha kısa bir aralık da daha kısadır. Bu etkiler bizi üstelikten uzaklaştırıyor.

$n$

$n$

İşte n = 2 için boşlukların dağılımının bir simülasyonu:

Çok üstel değil.

$n$$\frac{1}{n+1}$

$\exp(-21x)$

$n=10000$

Paranın sınırsız bir şekilde bölünebileceğini varsayalım.

$t=500000000$$n=10000$

$$p(x)=\frac{n-1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-2}$$ $0 \le x \le t$ $$P(X \le x)=1 - \left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-1}.$$

$X$$t$$t-X$$n$$n-1$$n=2$$n=1$

$n$$\frac{n}{t}$$\left(1-\frac{y}{m}\right)^{m} \to \exp(-y)$$m \to \infty$

Diyelim ki, "rastgele olarak 500000000000000000 gelirini 10.000 kişi arasında paylaştığınızı varsayalım" sorusunu cevaplamak için yeterince spesifik değil. Sabit sayıda insana sabit miktarda para tahsis etmek için kullanılabilecek pek çok farklı rastgele süreç vardır ve bunların her biri sonuçta ortaya çıkan dağılım için kendine has özelliklere sahip olacaktır. İşte düşünebildiğim üç üretici süreç ve her birinin yarattığı zenginlik dağılımları.

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

OP tarafından gönderilen Metot 1:

[0, w) 'den' p 'sayılarını rasgele eşit olarak seçin. Bunları sırala. Öne doğru '0' ekleyin. Bu listedeki ardışık öğeler arasındaki farklarla temsil edilen dolar miktarlarını dağıtın.

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45,
     xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))
fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", 
      pch=16, add = TRUE)

Yöntem 2:

'P' sayılarını [0, w) den rastgele bir şekilde eşit şekilde seçin. Bu 'ağırlıkları' göz önünde bulundurun, yani 'w' aslında bu aşamada önemli değil. Ağırlıkları normalleştir. Her ağırlığa karşılık gelen 'w' oranı ile temsil edilen dolar miktarlarını dağıtın.

d <- runif(p,max=w) #weigh-distribution
d <- d/sum(d)*w #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="pretty uniform", freq = FALSE, breaks = 45, 
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

Yöntem 3:

'P' 0s ile başlayın. w kez, rasgele bir şekilde seçilen bunlardan birine 1 ekleyin.

d <- rep(0, p)
for( i in 1:5000000){ ## for-loops in R are terrible, but this gives the idea.
    k <- floor(runif(1, max=p)) + 1    
    d[k] = (d[k] + 1)
}
h <- hist(d, col="red", main="kinda normalish?", freq = FALSE, breaks = 45,
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

Zeyilname hakkında bir şey ekleyeyim.

$$\begin{equation} p(x) = \frac{N-1}{X}\left(1-\frac{x}{X}\right)^{N-2}, \end{equation}$$ $N$$X$

$M$$m$

$$\begin{equation} p(m) = \frac{N-1}{M+1}\prod_{j=0}^{N-3}\left(1-\frac{m}{M-j}\right)^{N-2}. \end{equation}$$ $M\gg N$$N$

$N$

Bununla birlikte, hata analizini yapmak basit görünmemektedir çünkü bu durumda farklı örneklemeler bağımsız değildir. Toplam miktarın toplamını ve ilk kişinin ne kadar alacağını, ikinci kişi için olasılık dağılımını vb. Etkiler.

Önceki cevabım bu sorundan muzdarip değil, ancak bu yaklaşımda nasıl çözülebileceğini görmenin faydalı olacağını düşünüyorum.

Öngörülen cevaplar tarafından yapılan iyi teorik analiz. Ancak, işte dağılımın neden üstel olduğu konusundaki basit, deneysel görüşüm.

Parayı rastgele dağıtırken, tek tek yaptığınızı düşünelim. S orijinal toplamı olsun.

İlk kişi için 0 ile S arasında rastgele bir miktar seçmelisiniz. Bu nedenle, ortalama olarak S / 2 seçecek ve S / 2 ile kalacaktır.

İkinci adam için, rasgele 0 ve ortalama olarak S / 2 arasında bir seçim yapardınız. Böylece, ortalama olarak, S / 4'ü seçersiniz ve S / 4 ile kalırsınız.

Yani, temelde toplamı her seferinde ikiye böldünüz (istatistiksel olarak konuşursunuz).

Gerçek hayattan bir örnekte sürekli yarıya kadar değerlere sahip olmayacak olsanız da, bu dağılımın neden üssel olmasını beklemeniz gerektiğini gösteriyor.