Standart sapma neden N'ye göre kareler toplamının sqrt'ı olarak değil, varyansın sqrt'ı olarak tanımlanıyor?

Bugün bir giriş istatistik dersi verdim ve bir öğrenci bana şu şekilde yeniden sorduğum bir soru ile geldi: "Standart sapma neden N üzerindeki karelerin toplamı sqrt olarak değil, varyans sql olarak tanımlanıyor?"

Nüfus varyansını tanımlarız: $\sigma^2=\frac{1}{N}\sum{(x_i-\mu)^2}$

Ve standart sapma: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\sum{(x_i-\mu)^2}}$ .

Σ ' ya verebileceğimiz yorum$\sigma$ , popülasyondaki birimlerin X popülasyon ortalamasından ortalama sapmasını vermesidir.$X$ .

Ancak, sd tanımında kareler toplamının sqrt'ını $\sqrt{N}$ . Öğrencinin gündeme getirdiği soru, neden kareler karesinin karesini$N$yerinebölmüyoruz. Böylece rakip formüle geliyoruz:

$$\sigma_{new}=\frac{1}{N}\sqrt{\sum{(x_i-\mu)^2}}.$$ Öğrenci, bu formülün bölündüğünden çok ortalamadan "ortalama" sapmaya benzediğini savundu$\sqrt{N}$ olarak$\sigma$ .

Bu sorunun aptalca olmadığını düşündüm. Öğrenciye sd'nin ortalama kare sapma olan varyansın sqrt'ı olarak tanımlandığını söylemekten daha ileriye giden bir cevap vermek istiyorum . Başka bir deyişle, öğrenci neden doğru formülü kullanmalı ve fikrini takip etmemeli?

Bu soru daha eski bir konu ve burada verilen cevaplarla ilgilidir . Oradaki cevaplar üç yöne gidiyor:

1. $\sigma$ ortalamadan "tipik" sapma değil, yani ortalama karekök (RMS) sapmasıdır (yani$\sigma_{new}$ ). Böylece farklı tanımlanır.
2. Güzel matematiksel özelliklere sahiptir.
3. Ayrıca, sqrt orijinal birimlerine "birimleri" geri getirecektir. Bununla birlikte, bunun yerine N ile bölen için de durum söz konusudur .$\sigma_{new}$$N$

Nokta 1 ve 2'nin her ikisi de sd'yi RMS olarak destekleyen argümanlardır, ancak kullanımına karşı bir argüman görmüyorum $\sigma_{new}$. Ortalama RMS mesafe kullanımının giriş seviyesi öğrencilerin ikna etmek için iyi argümanlar ne olurdu $\sigma$ ortalama den?

Yeni başlayanlara kolayca açıklanabilecek en az üç temel sorun vardır:

1. "Yeni" SD, sonsuz popülasyonlar için bile tanımlanmamıştır. (Bu tür durumlarda her zaman sıfıra eşit olduğu söylenebilir, ancak bu daha yararlı olmaz.)

2. Yeni SD, rastgele örnekleme altında bir ortalamanın nasıl davranması gerektiğini göstermez.

3. Yeni SD rağmen can (örneklerin ve sonlu popülasyonlarda) bir ortalamalarından sapmaları değerlendirmek için tüm matematiksel titizlik ile kullanılabilir, yorumlanması gereksiz yere karmaşık.

1. Yeni SD'nin uygulanabilirliği sınırlıdır

Nokta (1), entegrasyonda bilgili olmayanlara bile eve getirilebilir, çünkü varyans açıkça aritmetik bir ortalama (kare sapmalar) olduğu için, "sonsuz" popülasyon modellerine faydalı bir uzantısı . aritmetik ortalama varlığının sezgisi hala geçerlidir. Bu nedenle, kare kökü - olağan SD - bu gibi durumlarda da mükemmel bir şekilde tanımlanmıştır ve bir varyansın (doğrusal olmayan bir ifadesi) rolünde de yararlıdır. Bununla birlikte, yeni SD bu ortalamayı keyfi olarak büyük √'ye böler. , sonlu popülasyonlar ve sonlu örneklerin ötesinde genellemesini problemli hale getirir: ne yapmalı$\sqrt{N}$ gibi durumlarda N eşittir?$1/\sqrt{N}$

2. Yeni SD ortalama değil

"Ortalama" ismine layık herhangi bir istatistik, popülasyondan rastgele bir örneklem büyüklüğü arttıkça popülasyon değerine yakınsadığı özelliğe sahip olmalıdır. Herhangi sabit çarpan örneği SD ve nüfus SD bilgisayar hem de geçerli olacak çünkü SD çoklu, bu özelliği olurdu. (Alecos Papadopoulos tarafından sunulan argümanla doğrudan çelişmese de, bu gözlem, argümanın sadece gerçek sorunlara teğet olduğunu göstermektedir.) Ancak, "yeni" SD, 1 / √ değerine eşittir.Alışılmış olanın N katı,örnek büyüklüğüNbüyüdükçeher koşulda0'ayakınlaşır. Bu nedenle,herhangi bir sabit numune boyutuNiçin, yeni SD (uygun şekilde yorumlanmış), ortalama etrafında mükemmel yeterli bir varyasyon ölçüsü olmasınarağmen, haklı olarakevrenselolarak kabul edilemez.$1/\sqrt{N}$$0$$N$$N$ tüm örnek boyutları için aynı yorumlama ile uygulanabilir önlem edilemez veya herhangi bir anlamda doğru bir şekilde "ortalama" olarak adlandırılır.

3. Yeni SD yorumlamak ve kullanmak için karmaşık

boyutunda numuneleri almayı düşünün . Bu durumlarda yeni SD 1 / $N=4$kez normal SD. Bu nedenle, 68-95-99 kuralının bir analogu gibi karşılaştırılabilir yorumlara sahiptir (verilerin yaklaşık% 68'iortalamanınikiyeni SD'sinde,% 95'i ortalamanındörtyeni SD'sindevb. ve bu tür Chebychev en (en fazla irade beklemeye olarak klasik eşitsizliklerin versiyonları1/k2fazla veri uzanabilirsin2kyeni pazarcı uzakta onların ortalama den) ve Merkezi limit Teoremi benzer yeni SD açısından yeniden ifade edilebilir (biri √ ile bölünür$1/\sqrt{N}=1/2$$1/k^2$$2k$Değişkeni standartlaştırmak için yeni SD'nin N katı). Bu nedenle, bu özel ve açıkça kısıtlanmış anlamda,öğrencinin önerisinde yanlış bir şey yoktur. Oldukça açık bir şekilde - - zorluk olsa da, bu açıklamaların hepsi içermesidir faktörlerini$\sqrt{N}$. Bununla ilgili herhangi bir matematiksel problem olmamasına rağmen, istatistiklerin en temel yasalarının ifadelerini ve yorumlarını kesinlikle karmaşıklaştırmaktadır.$\sqrt{N}=2$

---

Gauss ve diğerlerinin orijinal olarak Gauss dağılımını etkili kullanılarak$\sqrt{2}\sigma$Normal rastgele değişkenin yayılımını ölçmek için SD'nin 2 katı. Bu tarihsel kullanım, yerine SD'nindiğersabitkatlarınıkullanmanın uygunluğunu ve etkinliğini göstermektedir.$\sqrt{2}$

Assume that your sample contains only two realizations. I guess an intuitive measure of dispersion would be the average absolute deviation (AAD)

$$AAD = \frac 12 (|x_1-\bar x| + |x_2-\bar x|) = ...= \frac {|x_1-x_2|}{2}$$

So we would want other measures of dispersion at the same level of units of measurement to be "close" to the above.

The sample variance is defined as

$$\sigma^2=\frac{1}{2}[(x_1-\bar x)^2 + (x_2-\bar x)^2] = \frac 12 \left[\left(\frac {x_1-x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac {x_2-x_1}{2}\right)^2\right]$$

$$=\frac 12 \left[\frac {(x_1-x_2)^2}{4} + \frac {(x_1-x_2)^2}{4}\right]=\frac 12 \frac {(x_1-x_2)^2}{2}$$

$$=\frac 12\cdot \frac {|x_1-x_2|^2}{2}$$

To return to the original units of measurement, if we did as the student wondered/suggested,we would obtain the measure, call it $q$

$$q \equiv \frac 12\cdot \sqrt {\frac {|x_1-x_2|^2}{2}} = \frac 12 \frac {|x_1-x_2|}{\sqrt 2} = \frac 1{\sqrt 2} AAD < AAD$$

i.e. we would have "downplayed" the "intuitive" measure of dispersion, while if we have considered the standard deviation as defined,

$$SD \equiv \sqrt {\sigma^2} = \frac {|x_1-x_2|}{2} =AAD$$

Since we want to "stay as close as possible" to the intuitive measure, we should use $SD$.

ADDENDUM
Let's consider now a sample of size $n$ We have

$$n\cdot AAD = \sum_{i=1}^n |x_i-\bar x|$$

and

$$n \cdot \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \sum_{i=1}^n |x_i-\bar x|^2$$

we can write the right-hand side of the variance expression as

$$\sum_{i=1}^n |x_i-\bar x|^2 = \left(\sum_{i=1}^n |x_i-\bar x|\right)^2 - \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|$$

$$= \left (n\cdot AAD\right)^2 - \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|$$

Then the dispersion measure $q_n$ will be

$$q_n \equiv \frac 1n \left[n^2\cdot AAD^2 - \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|\right]^{1/2}$$

$$= \left[AAD^2 - \frac 1{n^2} \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|\right]^{1/2}$$

Now think informally: note that $\sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|$ contains $n^2-n$ terms, and so divided by $n^2$ will left us with "one term in the second power". But also "one term in the 2nd power" is what we have in $AAD^2$: this is a primitive way to "sense" why $q_n$ will tend to zero as $n$ grows large. On the other hand the Standard Deviation as defined would be

$$SD \equiv \frac 1{\sqrt n} \left[n^2\cdot AAD^2 - \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|\right]^{1/2}$$

$$= \left[n\cdot AAD^2 - \frac 1{n} \sum_{j\neq i} |x_i-\bar x||x_j-\bar x|\right]^{1/2}$$

Continuing are informal thinking, the first term gives us $n$ "terms in the 2nd power", while the second term gives us $n-1$ "terms in the second power" . So we will be left eventually with one such term, as $n$ grows large, and then we will take its square root.
This does not mean that the Standard Deviation as defined will equal the Average Absolute Deviation in general (it doesn't), but it does show that it is suitably defined so as to be "on a par" with it for any $n$, as well as for the case when $n\rightarrow \infty$.