Bir dönüşüm altında gözlemlenen Fisher bilgileri


9

Y. Pawitan'ın "Tüm Olasılıkta: Olasılık Kullanarak İstatistiksel Modelleme ve Çıkarım" dan yeniden parametreleştirme olasılığı θg(θ)=ψ olarak tanımlanır

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
böylece g bire bir ise, L(ψ)=L(g1(ψ)) (s. 45). Ben eğer belirten Egzersiz 2.20 göstermeye çalışıyorum θ is sayıl (ve bunu tahmin g sıra skaler fonksiyon olması gerekiyordu), sonra
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
burada
I(θ)=2θ2l(θ)
gözlemlenen Fisher bilgisidir ve l(θ)=logL(θ) .

Eğer g bire-bir ise o zaman bu zincir kuralı ve değişmezlik ilkesini kullanarak basittir. Sadece birkaç şey merak ediyorum:

  1. Neden mutlak değeri yazmakta ısrar ediyor? Bu dışarıda bırakılabilir, değil mi?
  2. Tarafından o fonksiyonu anlamına gelir değerlendirildi , değil mi? Durum buysa, kötü bir gösterim seçeneği değil midir? Bunun olağan steno gösteriminin olabileceğine inanıyorum .g(θ^)θ^g(θ)θθ=θ^g(θ^)θ
  3. mutlaka birebir olmadığı zaman bu nasıl gösterilir ?g

Yanıtlar:


4
  1. Mutlak değer gereksizdir. Sadece bir yazım hatası olabilir.

  2. Haklısın. Daha da iyi bir gösterimdg(θ)dθ|θ=θ^.

  3. Genel olarak tutmuyor. Bazılarını düzeltinψ0 ve tanımla g:RR tarafından g(θ)=ψ0. Türev tanımsız olacaktır çünkü türev her biri için sıfırdırθ.

Normal davanın bir taslağı:

Düzgün bire bir için g ile ψ=g(θ). Dan beri,d/dψ=dθ/dψd/dθ, sahibiz

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
Bu nedenle,
I(g(θ^))=d2L(g(θ^))dθ2(dθdψ)2dL(g(θ^))dθd2θdψ2dθdψ=d2L(g1(g(θ^)))dθ2(dg(θ)dθ|θ=g1(g(θ^)))2dL(g1(g(θ^)))dθd2θdψ2dθdψ=I(θ^)(dg(θ)dθ|θ=θ^)2,
in which we used dL(g1(g(θ^)))/dθ=dL(θ^)/dθ=0.

1
Thank you for addressing all my doubts and for that simple counter-example with constant g. Your sketch of the regular case is similar to what I've done, so it's all good. Thanks.
Stefan Hansen
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.