Gamma ve ki kare dağılımı arasındaki ilişki

Eğer burada , yani tüm aynı varyanslı ortalama sıfır iid normal rasgele değişkenlerdir, sonra

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Ki kare dağılımının gama dağılımının özel bir durumu olduğunu biliyorum, ancak rastgele değişken için ki kare dağılımını . Herhangi bir yardım lütfen? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— Yeni Zelanda papağanı
kaynak

Bazı arka plan

dağıtım dağılımı olarak tanımlanır kareler toplanmasıyla elde edilen sonuçlar bu , bağımsız rastgele değişken , yani: burada , rastgele değişkenlerin ve olduğunu belirtir aynı dağılıma sahiptir (EDIT: hem serbestlik derecesine sahip bir Chi kare dağılımını hem de bu dağılımla rastgele bir değişkeni belirtir ). Şimdi, dağıtımının $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ Yani, dağılımı, pdf ile dağılımının özel bir halidir. Artık .

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Senin durumun

Sizin durumunuzdaki fark, ortak değişkenler olan normal değişkenlerinizin . Ancak bu durumda benzer bir dağılım ortaya çıkar: bu nedenle , rasgele değişkeni ile kaynaklanan dağılımı izler . Bu, rastgele değişkenlerin dönüşümü ile kolayca elde edilir ( ): Bunun demenin aynısı olduğunu $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ çünkü Gamma tarafından absorbe edilebilir parametre.

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Not

Eğer pdf türetmek isterseniz (aynı zamanda durumun geçerli olduğu sıfırdan küçük değişikliklerle altında), ilk adımı takip edebilirsiniz burada için standart dönüşümü kullanılarak rastgele değişkenler için. Ardından, sonraki adımları izleyebilir veya Gama dağılımının evrişim özelliklerine ve yukarıda açıklanan ile olan ilişkisine dayanan kanıtları kısaltabilirsiniz . $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
kaynak

Güzel açıklama (+1). Ama muhtemelen olmalı buradaVe son olarak,

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— kaka

Teşekkürler @kaka. İlk noktada, aslında notasyonu ile bir değişkenini ortaya çıkan rastgele değişkene atıfta bulunuyorum , bu yüzden ikimiz de aynı şeyi söylüyoruz. .. ikinci noktada, hatırlamak bir yoğunluk ifade etmek için kullanılan notasyon (parametresi , ikinci bir bağımsız değişken olarak görünür). , yoğunluğu olarak okunur ve bu da tamamdır, ancak iki katı tekrarlıyorsunuz .

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— epsilone

Ama ilk denklemde tanımlı bir dağılım olarak

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— kaka

Evet ve eşitliğindeki değerlerine sahip olması nedeniyle varyans , bu gibidir ilk denklemde.

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ , serbestlik dereceli Chi kare dağılım işlevini ve bu dağılımı izleyen rastgele bir değişkeni belirtir. Bu belki de gösterimin kötüye kullanılmasıdır, ancak anlamı açık olmalıdır. Yine de cevabı açıklığa kavuşturacağım.

n

$n$

— epsilone