Bayes teoremini denizde kaybolan bir balıkçı arayışına nasıl uygulayabilirim?

Oranlar, Sürekli Güncellenmiş makalesi , yaşamını tam anlamıyla Bayes İstatistiklerine borçlu olan bir Long Island balıkçısının hikayesinden bahsediyor. İşte kısa versiyon:

Gecenin ortasında bir teknede iki balıkçı var. Biri uyurken diğeri okyanusa düşer. Tekne, ilk adam uyanıp Sahil Güvenlik'i haberdar edene kadar gece boyunca otomatik pilot üzerinde ilerlemeye devam eder. Sahil Güvenlik , hipotermik olduğu ve ayakta kalması için hemen hemen enerjisiz olduğu için onu zamanında bulmak için SAROPS (Arama ve Kurtarma Optimal Planlama Sistemi) adlı bir yazılım kullanıyor .

İşte uzun versiyon: Denizde Bir Benek

Burada Bayes Teoreminin gerçekte nasıl uygulandığı hakkında daha fazla bilgi edinmek istedim. Sadece googling yaparak SAROPS yazılımı hakkında biraz öğrendim.

SAROPS simülatörü

Simülatör bileşeni, okyanus akımı, rüzgar vb. Gibi zamanında verileri dikkate alır ve binlerce olası sürüklenme yolunu simüle eder. Bu sürüklenme yollarından bir olasılık dağılım haritası oluşturulur.

Aşağıdaki grafiklerin yukarıda bahsettiğim eksik balıkçı örneğini ifade etmediğini, ancak bu sunumdan alınan oyuncak bir örnek olduğunu unutmayın.

Olasılık Haritası 1 (Kırmızı en yüksek olasılığı, mavi en düşük olasılığı gösterir)

Başlangıç ​​konumu olan daireye dikkat edin.

Olasılık Haritası 2 - Daha fazla zaman geçti

Olasılık haritasının multimodal hale geldiğine dikkat edin. Çünkü bu örnekte, birden çok senaryo aşağıdakiler için açıklanmıştır:

1. Kişi suda yüzüyor - üst-orta mod
2. Kişi hayat salında (kuzeyden gelen rüzgârdan daha fazla etkilenir) - alt 2 mod ("jibing etkileri" nedeniyle bölünür)

Olasılık Haritası 3 - Arama kırmızı renkli dikdörtgen yollar boyunca yapılmıştır Bu resim planlayıcı (SAROPS'un başka bir bileşeni) tarafından üretilen en uygun yolları göstermektedir. Gördüğünüz gibi, bu yollar arandı ve olasılık haritası simülatör tarafından güncellendi.

Aranan alanların neden sıfır olasılığa indirgenmediğini merak ediyor olabilirsiniz. Bunun nedeni , çarpanlara ayrılmış bir olasılığı ( , yani araştırmacının sudaki kişiyi görmezden gelme olasılığı göz ardı edilemez. Anlaşılır şekilde, yalnız yaşayan bir kişi için başarısızlık olasılığı, bir yaşam salında (görülmesi daha kolay) bir kişiden çok daha yüksektir, bu yüzden üst alandaki olasılıklar çok fazla düşmemiştir.$p(\text{fail})$

Başarısız bir aramanın etkileri

Bayes Teoremi burada devreye giriyor. Bir arama yapıldıktan sonra, olasılık haritası buna göre güncellenir, böylece başka bir arama en uygun şekilde planlanabilir.

Teoremi Bayes inceledikten sonra wikipedia ve makalesinde Teorem Bir Sezgisel (ve Kısa) Bayes açıklaması üzerine BetterExplained.com

Bayes denklemini aldım:

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

Ve A ve X'i şu şekilde tanımlayın ...

• Olay A: Kişi bu bölgede (ızgara hücresi)

• Test X: Bu alanda (ızgara hücresi) başarısız arama yani bir alanda arama yaptı ve hiçbir şey görmedi

Akma,

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

Ben bulundu Arama ve Kurtarma Optimum Planlama Sistemi SAROPS başarısız bir arama, olasılığını hesaplayan dikkate arama yolları ve simüle sürüklenme yolları alarak,. Basitlik için değerinin ne olduğunu bildiğimizi varsayalım .$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$

Şimdi var,

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. Burada Bayes denklemi doğru uygulanmış mı?

2. Başarısız bir arama olasılığı olan payda nasıl hesaplanır?

   Ayrıca Arama ve Kurtarma Optimal Planlama Sisteminde ,

   Posterior olasılıkları üretmek için önceki olasılıklar "olağan Bayes tarzında normalleştirilir"

3. "Normal Bayes tarzında normalleştirilmiş" ne anlama geliyor?

   Bu, tüm olasılıkların bölündüğü veya tüm olasılık haritasının bire kadar eklenmesini sağlamak için normalleştirildiği anlamına mı geliyor ? Yoksa bunlar aynı mı?$P(\text{unsuccessful})$

4. Son olarak, başarısız bir arama için güncelledikten sonra ızgaralı olasılık haritasını normalleştirmenin doğru yolu ne olurdu, TÜM alanları (ızgara hücreleri) aramadığınız için ve bazıları eşit mi?$P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

Yine bir başka sadeleştirme notu - Arama ve Kurtarma Optimal Planlama Sistemine göre , posterior dağılım aslında simüle edilen sürüklenme yollarının olasılıkları güncellenerek ve daha sonra ızgaralı olasılık haritasını yeniden oluşturarak hesaplanır. Bu örneği yeterince basit tutmak için, sim yollarını görmezden gelmeyi ve ızgara hücrelerine odaklanmayı seçtim.

1. Izgara hücreleri arasında bağımsızlık varsayarsak, evet, Bayes Teoreminin düzgün bir şekilde uygulandığı anlaşılıyor.
2. Payda genişletilebilir, örneğin tamamlayıcı olduğu kanun toplam olasılık kullanılarak arasında , yani kişi yoktur. Muhtemelen olduğunu varsayarsınız . $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$
3. El kitabını yazmadım çünkü "normal Bayes tarzında normalleştirilmiş" ne anlama geldiğinden emin değilim. Ancak kesinlikle aşağıdaki üç denklemin bulmak için yeterli olduğu gerçeğinden bahsediyorlar : Böylece asla , yani normalleştirici sabit. Bunu tek bir ızgara hücresinin veya tüm haritanın olasılığını güncellemek için kullansalar da bilmiyorum (muhtemelen her ikisi de).$P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. Grid hücresini olması notasyonu genişletelim ve bireysel ızgara hücresinde olay ve ızgara hücresi o olay arama yapıldı ve kimse bulunmuştur. Yeni gösterimde, başarısız olan aramaların koleksiyonu olacak. Aşağıdakileri varsayıyoruz:$i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$ , yani arama yaptıktan sonra, bireyin o hücrede olma olasılığının toplam hücreleri 1'dir. Bu, yine toplam olasılık yasasıdır.
   • Bir hücrede aramanın bize başka bir hücre hakkında hiçbir şey söylemediğini varsayarsak, ve için için araması yapılmamıştır hücreler . Bağımsızlık varsaymazsak, formüller daha karmaşık olacaktır, ancak sezgi benzer olacaktır, yani orantılılık sabitine kadar hesaplanır .$P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   hesaplamak ve haritayı buna göre güncellemek için bu iki varsayımı kullanabiliriz .$P(A_i|X)$

Sorumlu bir bölüm olan Deniz Operasyonları Analizi - bir helikopter pilotu olan ve aslında arama ve kurtarma görevleri yapan eski bir profesör tarafından daha az değil, bir kitaba işaret ettim !

Bölüm 8'de böyle bir şey verilmiştir (Biraz özelleştirdim):

Başlangıç ​​olarak, kayıp kişi (ler), tekne vb. Yerleri için önceden belirlenmiş bir dağıtım vardır.

Önceki dağıtım:

Şebekenin bir bölümünde bir arama yapılır ve Bayes denklemini sorularımda bahsettiğim şekilde uygulayarak olasılıklar normalleştirilmiş bir posterior dağılımla güncellenir :

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

nerede (i, j) = (enlem, uzun)

Bu durumda, 3. sütunda arama yapmaya karar verdim çünkü bu sütun önceki toplam olasılıkın en büyüğüne sahipti .

PFail = 0.2 ile üçüncü sütun arandıktan sonra normalize edilmiş posterior dağılım :

Sorum esas olarak posteriorun nasıl normalleştirildiği ile ilgiliydi. Kitapta şu şekilde yapıldı - her bir posterior olasılığı toplam toplamla böl , S :

Profesörümün "Sadece% 80 algılama olasılığını araştırdığımız için bunu söyleyebildiğimiz için 0.2 başarısızlık araması olasılığını seçtim .

Sadece tekmeler için, 0.5 pFail ile başka bir örnek çalıştırdım . İlk örnekte ( pFail = 0.2), bir sonraki en iyi arama yolu (normalize edilmiş posterior ve düz çizgi aramaları varsayarak, çapraz veya zig-zag yok) ikinci örnekte ( pFail = 0.5) bir sonraki en iyi rota sıra 2'nin üzerindedir .

PFail = 0.5 ile üçüncü sütun arandıktan sonra normalize edilmiş posterior dağılım :

Ayrıca, "Uçak en iyi irtifayı ve hava hızını belirlemeye yardımcı olmak için onlarla birlikte küçük bir kontrol listesi taşıyor. Bunu uçan bir helikopterde çalışmak, bir çamaşır makinesinin üstünde oturmak, farklı bir çamaşır makinesine bantlanmış bir kitap okumak gibidir."