Ortalamaların güven aralıkları nasıl hesaplanır?

Bir deneyi üç kez tekrarladığınızı düşünün. Her deneyde, üçlü ölçümler toplarsınız. Üç kopya, üç deneysel araç arasındaki farklara kıyasla birbirine oldukça yakın olma eğilimindedir. Büyük ortalamanın hesaplanması oldukça kolaydır. Peki, büyük anlam için bir güven aralığını nasıl hesaplayabiliriz?

Örnek veri:

Deney 1: 34, 41, 39

Deney 2: 45, 51, 52

Deney 3: 29, 31, 35

Bir deney içindeki yinelenen değerlerin ve her deneyin ortalama değerlerinin bir Gauss dağılımını takip ettiğini varsayın. Bir deneydeki varyasyonun SD'si, deneysel araçlar arasındaki SD'den daha küçüktür. Ayrıca, her deneyde üç değerin sıralanmadığını varsayalım. Her satırdaki üç değerin soldan sağa sırası tamamen keyfidir.

Basit yaklaşım önce her deneyin ortalamasını hesaplamaktır: 38.0, 49.3 ve 31.7 ve sonra bu üç değerin ortalamasını ve% 95 güven aralığını hesaplamak. Bu yöntemi kullanarak, genel ortalama 39.7'dir ve% 95 güven aralığı 17.4 ila 61.9 arasındadır.

Bu yaklaşımla ilgili sorun, üçlüler arasındaki değişimi tamamen göz ardı etmesidir. Bu varyasyonu hesaba katmanın iyi bir yolu olup olmadığını merak ediyorum.

Dengeli rasgele tek yönlü ANOVA modelinde grandmean için doğal bir tam güven aralığı vardır Gerçekten de, bu kontrol etmek kolaydır, gözlenen aracının dağıtım ˉ y ı ∙ olan ˉ y ı ∙ ~ IID N ( ^ ı , τ 2 ) ile τ 2 = σ 2 b + σ 2

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ $\bar{y}_{i\bullet}$$\bar{y}_{i\bullet} \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \tau^2)$ ve karelerin toplamı arasındaSSbdağılımınınSSb∼Jτ2χ 2 I - 1 olduğu ve gözlemlenen toplam ortalama ˉ y ∙∙∼N(μ,τ2'denbağımsızolduğu iyi bilinmektedir.$\tau^2=\sigma^2_b+\frac{\sigma^2_w}{J}$$SS_b$ $$SS_b \sim J\tau^2\chi^2_{I-1}$$ . Böylece ˉ y ∙ ∙ - $$\bar y_{\bullet\bullet} \sim {\cal N}(\mu, \frac{\tau^2}{I})$$ ,I-1serbestlik derecesinesahip bir Studenttdağılımına sahiptir, buradanμhakkında kesin bir güven aralığı elde etmek kolaydır. $$\frac{\bar y_{\bullet\bullet} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{I}}\sqrt{\frac{SS_b}{J(I-1)}}}$$ $t$$I-1$$\mu$

Bu güven aralığının Gauss ortalamaları için klasik aralıktan başka bir şey olmadığını ve gözlemlerin yalnızca grup olarak anlamına geldiğini $\bar{y}_{i\bullet}$ . Böylece bahsettiğiniz basit yaklaşım:

Basit yaklaşım önce her deneyin ortalamasını hesaplamaktır: 38.0, 49.3 ve 31.7 ve sonra bu üç değerin ortalamasını ve% 95 güven aralığını hesaplamak. Bu yöntemi kullanarak, genel ortalama 39.7'dir ve% 95 güven aralığı 17.4 ila 61.9 arasındadır.

doğrudur. Ve yok sayılan varyasyon hakkındaki sezginiz:

Bu yaklaşımla ilgili sorun, üçlüler arasındaki değişimi tamamen göz ardı etmesidir. Bu varyasyonu hesaba katmanın iyi bir yolu olup olmadığını merak ediyorum.

Hata. Ayrıca /stats//a/72578/8402 adresinde bu kadar basitleştirmenin doğruluğundan bahsediyorum.

Güncelleme 12/04/2014

Bazı ayrıntılar artık blogumda yazılıyor: Güven aralıkları almak için bir modelin azaltılması .

Bu, doğrusal karma etkiler modelinde bir tahmin meselesidir. Sorun, büyük ortalamanın varyansının, ayrı olarak tahmin edilmesi gereken (verilerin ANOVA'sı aracılığıyla) iki varyans bileşeninin ağırlıklı toplamı olmasıdır . Tahminlerin farklı serbestlik dereceleri vardır. Bu nedenle, her zamanki küçük örnek (Student t) formüllerini kullanarak ortalama için bir güven aralığı oluşturmaya çalışılabilse de, ortalamadan sapma olasılığı düşüktür, çünkü ortalamadan sapmalar bir Student t dağılımını tam olarak takip etmeyecektir.

Linear Karışık Efektler Modeli ile Tahmin , Eva Jarosova'nın yakın tarihli bir (2010) makalesi bu konuyu tartışıyor. (2015 itibariyle artık Web'de mevcut görünmüyor.) "Küçük" bir veri kümesi bağlamında (buna rağmen, bundan üç kat daha büyük), yaklaşık iki CI hesaplamasını (kuyu) değerlendirmek için simülasyon kullanıyor. bilinen Satterthwaite yaklaşımı ve "Kenward-Roger yöntemi"). Sonuçları arasında

Simülasyon çalışması, kovaryans parametrelerinin tahmin kalitesinin ve sonuç olarak küçük numunelerde güven aralıklarının ayarlanmasının oldukça zayıf olabileceğini ortaya koydu. Dengeli veriler için bile üç tip aralığın [konvansiyonel, Satterthwaite, KR] önemli ölçüde farklı olabileceği açıktır. Geleneksel ve ayarlanan aralıklar arasında çarpıcı bir fark gözlendiğinde, standart kovaryans parametre tahmin hataları kontrol edilmelidir. Öte yandan, [üç] aralık türü arasındaki farklar küçük olduğunda, ayarlama gereksiz gibi görünmektedir.

Kısacası, iyi bir yaklaşım

1. Varyans bileşenlerinin tahminlerini kullanarak ve bir t-dağılımı geçerli gibi davranarak geleneksel bir CI hesaplayın.

2. Ayrıca ayarlanan CI'lerden en az birini hesaplayın.

3. Hesaplamalar "yakın" ise, geleneksel CI'yi kabul edin. Aksi takdirde, güvenilir bir CI üretmek için yeterli veri olmadığını rapor edin.

Her iki sorununuzu da çözen bir güven aralığınız olamaz. Bir tane seçmelisin. Deneme içindeki değerleri ne kadar doğru bir şekilde tahmin edebileceğinizi veya bunu arasında yapabileceğiniz ve deneyler arasında olacağı hakkında bir şey söylemenizi sağlayan deney varyansı içinde ortalama bir kare hata teriminden birini türetebilirsiniz. Eğer eskisini yapsaydım, büyük ortalamadan ziyade 0 civarında çizmek isterdim çünkü size gerçek ortalama değer hakkında, sadece bir etki hakkında bir şey söylemez (bu durumda 0). Veya her ikisini de çizebilir ve ne yaptığını açıklayabilirsiniz.

Aralarında bir tutam var. İçinde bir MSE ile çalışmak için bir ANOVA hata terimini hesaplamak gibi ve oradan CI için SE sadece sqrt (MSE / n) (bu durumda n = 3).

Bence büyük ortalama CI orijinal veriler için bile çok geniş [17,62].

Bu deneyler kimyada ÇOK yaygındır. Örneğin, referans materyallerinin belgelendirilmesinde, bütün lotlardan bazı şişeleri rastgele bir şekilde almanız ve her şişeler üzerinde tekrar analizi yapmanız gerekir. Referans değeri ve belirsizliğini nasıl hesaplıyorsunuz? Bunu yapmanın çok yolu var, ama en sofistike (ve doğru, sanırım) meta-analiz veya ML (Dersimonian-Laird, Vangel-Rukhin, vb.)

Bootstrap tahminleri ne olacak?