Bir dairenin içine rastgele noktaların enjeksiyonunu simüle etmeye çalışıyordum, öyle ki dairenin herhangi bir kısmı aynı kusura sahip olma olasılığına sahip. Çemberi eşit alanlı dikdörtgenlere böldüğümde ortaya çıkan dağılımın alan sayısının Poisson dağılımını takip etmesini beklerdim.

Sadece dairesel bir alana yerleştirme noktaları gerektirdiğinden, kutupsal koordinatlara iki düzgün rasgele dağılım enjekte ettim: (yarıçap) ve θ (kutup açısı).$R$$\theta$

Ancak bu enjeksiyondan sonra, dairenin merkezinde kenara kıyasla daha fazla puan alıyorum.

Noktaları rastgele olarak dağıtılacak şekilde daire boyunca bu enjeksiyonu gerçekleştirmenin doğru yolu ne olurdu?

Noktaların oranının menşe mesafesinden ziyade alanla eşit orantılı olmasını istersiniz . Alan kare kareyle orantılı olduğundan, düzgün rastgele yarıçaplar üret ve kareköklerini al. Bunu düzgün bir kutup açısı ile birleştir.

Bu, kodlamanın hızlı ve basittir, yürütmede verimli (özellikle paralel bir platformda) ve tam olarak öngörülen puan sayısını oluşturur.

Örnek

Bu Ralgoritmayı göstermek için çalışan koddur.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Reddetme Örneklemesi kullanılabilir. Bunun anlamı 2B düzgün dağılımdan örnekleme yapabilir ve disk koşulunu sağlayan örnekleri seçebiliriz.

İşte bir örnek.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Elbette, iki boyutlu bir durumda da işe yarayan genel bir n-boyutlu cevap vereceğim. Üç boyutta bir diskin analoğu, bir katı topun (küre) hacmidir.

Tartışacağım iki yaklaşım var. Onlardan birine "kesin" diyeceğim ve R'de bununla birlikte tam bir çözüm elde edeceğim. İkincisi buluşsal olarak adlandırıyorum ve bu sadece bir fikir, tam bir çözüm bulunmuyor.

"Hassas" çözüm

Benim çözümüm Marsaglia ve Muller'ın çalışmalarına dayanıyor . Temel olarak, Gaussian vektörünün normuna göre normalize olması, size d boyutlu bir hiper kürede eşit olarak dağılmış noktaları vermesi için gerçekleşir:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

İşte 3d durum için bir kod pasajı, yani sağlam bir top:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Sezgisel yaklaşım

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

İşte alternatif bir çözümdür R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")