Bağımsız Dağılımların Hangi Oranı Normal Dağılım Sağlar?

13

İki bağımsız normal dağılımın oranı Cauchy dağılımı verir. T-dağılımı, normal bir ki-kare dağılımına bölünen normal bir dağılımdır. İki bağımsız ki-kare dağılımının oranı bir F-dağılımı verir.

Ortalama ve varyans ile normal olarak dağıtılmış rasgele bir değişken veren bağımsız sürekli dağılımların bir oranını arıyorum ? $\mu$ $\sigma^2$

Muhtemelen sonsuz sayıda olası cevap vardır. Bana bu olası cevaplardan bazılarını verebilir misiniz? Oranı hesaplanan iki bağımsız dağılımın aynı veya en azından benzer varyansa sahip olması özellikle takdir edilecektir.

— Remi.b
kaynak

2

İken bu oran Dağılımları üzerinde Wikipedia makalesi aradığınız hangi durumda örneklerini sağlamaz, ilginç bir okuma olduğunu.

— Avraham

2

Bir çok özel bir durumdur bir standart normal ve bağımsız bir şekilde, her olasılıkla , o zaman , ve aynı ortalama ve varyans ve bilgisi olduğu normal dağılım.

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— Henry

1

" İki bağımsız ki-kare dağılımının oranı bir F-dağılımı verir " --- pek değil. Beta-prime dağılımı sağlar. Bir F elde etmek için her ki-kareyi df ile ölçeklendirmeniz gerekir.

— Glen_b

2

Bazı şeyler beni tüm koşullarınızı yerine getirmenin mümkün olduğuna ikna etmiyor.

— Glen_b

1

Örnek olarak normal değişkenler yönteminin (örneğin Box-Muller) üretilmesi (daire yöntemini kullanır) normal dağılım veren tekdüze dağılım oranları olmadığını söyleyebilirim (tekdüzen dağılımlar istendiğini varsayarak)

— Nikos M.

7

Let burada ortalama ile, üstel dağılımına sahip ve eşit olasılıkla. Let burada . Varsayarak birbirinden bağımsız olarak, daha sonra bağımsızdır ve . Dolayısıyla bizde $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

$Y_1$ bağımsız ; $Y_2$
Her ikisi de sürekli; öyle ki
$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ .

Nasıl bir alacağımı bulamadım . Bu sorunun bulma azalttığı bunun nasıl görmek zordur ve öyle ki bağımsız olan hangi oldukça olduğunu bağımsız ve için yapmaktan biraz daha zor . $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— insan
kaynak

1

Bu doğruysa, bu harika.

— Neil G

2

@NeilG doğru; beta ve üstelimin ürünü, şekil 1/2 olan bir gamadır (beta'yı nasıl oluşturabileceğiniz ve gamaları kullanarak bağımsız bir gama). Daha sonra bunun karekökü, normalin karesinin ki-kare olduğu gerçeği kullanılarak yarı normaldir.

— Guy

1

Son zamanlarda normal değişken olan iki değişkenli bir ürün soran bir sorum vardı (geri bulamıyorum). Bu sorunun , iki dönüştürülmüş düzgün dağıtılmış değişkenin ürününden normal bir dağılımı (veya daha kesin olarak iki değişkenli normal bir dağılımı) hesaplayan Box-Muller dönüşümüyle ilgili bir yorumu veya cevabı vardı . Bu cevap bununla çok ilgilidir, ancak Box-Muller dönüşümündeki bu değişkenlerden birinin tersini alır. cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

2

Oranı hesaplanan iki bağımsız dağılımın aynı olup olmadığını özellikle takdir ediyorum.

$\chi^2$

$A, B \sim F$ $F$
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
$A$ $B$
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$

$\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$

Örneğin Cauchy dağıtılmış değişkeninin tersi de Cauchy dağıtılır. Bir F-dağılımı değişkeninin tersi de F-dağılımıdır.

$X$ $1/X$

$X$ $1/X$ $P(X=1)=0$ $P(X=1) \neq 0$

— Sextus Empiricus
kaynak

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

1

A, B

$A, B$

1

Ne dediğini anlamıyorum. İdeal olarak, cevabınız, birinin düzenlemeleri okumasını gerektirmeden tutarlı bir tartışma olacaktır. Şu anda, ikinci ifadeniz ("ayrıca sahip olmalıyız") birinciden sonra gelmiyor gibi görünüyor.

— Neil G

1

@kjetilbhalvorsen nasıl gözden geçirilmesi gerekiyor? Sorunun "Hesaplanan iki bağımsız dağılımın aynı olup olmadığını özellikle takdir edeceğim" bölümünü belirttim . Adamın cevabının bununla nasıl bir ilişkisi olduğunu görmüyorum.

— Sextus Empiricus

2

+1: Açık, net, zarif ve anlayışlı.

— whuber

1

İşte burada bir tane var ama bunu kanıtlamayacağım, sadece simülasyonda gösterin.

$\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

$(0,1)$

$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

Başka bir deyişle, bunu yapmak için çok uğraşsa bile oranın normal olmadığını kanıtlayamayız.

Şimdi neden? Benim açımdan çok fazla sahip olduğum sezgi. Varsa, kanıt okuyucuya bırakılmıştır (belki de anların yönteminin sınırı yoluyla, ama yine de sadece sezgi).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Carl
kaynak

6

Normal bir dağılıma çok yakınsınız. Ancak, bu normal bir dağılıma sahip olmakla aynı şey değildir ve ortalanmış bir simetrik betanın aynı parametrelere sahip sıradan bir simetrik betaya oranının aslında normal olduğuna inanmıyorum. Bu konuda yanlış olmakla çok ilgilenirim.

— Glen_b

3

Çözümünüz kesinlikle Normal değil. Bu yaklaşımı genelleştirebilirsiniz: yaklaşık Normal olan herhangi bir dağılımı alın ve olasılığı sıfır olmayan bir sayıya yakın konsantre olan bir dağılıma bölün. Sonuç (belli ki) Normal'e yakın olacaktır - ancak yine de Normal olmayacaktır. Bir grup test uygulamak ikna edicidir, çünkü tüm bunlar, Normallik olmadığını göstermek için yeterince büyük örnekler üretmediğinizi gösterir.

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Konunun kalbine gideyim, o zaman: (1) normalliği reddetmek, integral yaklaşımda basit bir alıştırmadır - burada detayları vermeye gerek yoktur. Sen, olabilir mesela , kolayca 200. an sonsuzdur kanıtlamak. (2) Cevabınız karıştırır dağılımları ile numuneler. İtiraz ettiğim bu temel karışıklık; bu cevabın faydalı olmaktan daha yanıltıcı olduğunu düşünüyorum. BTW, son yorumumu hafifçe yazmadım: Bu testi yaptım. Bir süper bilgisayarla değil, on yıllık bir PC iş istasyonuyla yaptım ve tüm süreç sadece birkaç saniye sürdü.

— whuber

2

Son bir noktaya değineyim. Yaptığım ilgiyi teşvik etmek için burada cevap verdim. İlgim olmadan 2014'ten beri uykuda olan bu konuşma hala cevapsız kalacaktı. Rolümü, düşünceyi teşvik edici, su üzerinde yürümek ya da su üstünde yürümek olarak görmüyorum.

— Carl

-3

Birçok olasılık olduğunu hayal ediyorum. Burada aklıma gelen bir tane var. verildiği bilinmektedir (Zolotarev). $X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— chuse
kaynak

4

Lütfen hipotezinizi oranın açık bir şekilde hesaplanmasıyla veya simülasyonla test edin. Her ikisi de talebinizin yanlış olduğunu gösterecektir. Hata, payın "çözülmesi" için dağıtım oranlarının "iptal edilebileceğini" varsaymaktır.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$