Bir dağılımın ortalaması hakkında anlar için sezgi?

Birisi bir sezgi sağlayabilir neden yüksek bir olasılık dağılımının anları çarpıklık üçüncü ve dördüncü anlar gibi, tekabül sırasıyla kurtosis? Özellikle, üçüncü veya dördüncü güce yükseltilen ortalamadaki sapma neden bir çarpıklık ve basıklık ölçüsüne dönüşüyor? Bunu işlevin üçüncü veya dördüncü türevleriyle ilişkilendirmenin bir yolu var mı? $p_X$

Bu çarpıklık ve basıklık tanımını düşünün:

\begin{matrix} çarpıklık (X) = E [(X - μ_{X})^{3}] / σ^{3}, \\ Basıklık (X) = E [(X - μ_{X})^{4}] / σ^{4} . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$

Bu denklemlerde normalleştirilmiş değeri $(X-\mu)/\sigma$ bir güce yükseltir ve beklenen değerini alırız . Normalize edilmiş rastgele değişkeni dördün gücüne yükseltmenin neden "dorukluk" verdiğini ya da normalize edilmiş rastgele değişkeni üçün gücüne yükseltmenin neden "çarpıklık" vermesi gerektiği açık değil. Bu büyülü ve gizemli görünüyor!

— user248237
kaynak

Çarpıklık konusundaki sezgim, üçüncü gücün negatifleri koruduğuna dikkat etmek. Eğer ortalamadan çok daha büyük negatif sapmalarınız varsa (çok basit bir şekilde ifade ederseniz), o zaman negatif çarpık bir dağılım ile sonuçlanırsınız. Basıklık için sezgim, dördüncü gücün ortalamadan büyük sapmaları ikinci güçten çok daha fazla yükseltmesidir. Bu yüzden basıklık bir dağılımın kuyruklarının ne kadar şişman olduğunu düşünüyoruz. Ortalama mu'dan x'in çok büyük olasılıklarının dördüncü güce yükseltildiğine dikkat edin, bu da onları güçlendirir, ancak işareti yok sayar.

— wolfsatthedoor

Bkz stats.stackexchange.com/questions/84158/...

— whuber

4. güçler, 1. güçlerden çok aykırı değerlerden çok daha fazla etkilendiğinden, dördüncü anda medyan hakkında bakmaktan çok az kazanacağınızı umuyorum - en azından sağlamlık amaçsa.

— Glen_b

İlk olarak, bu yüksek anların mutlaka iyi / güvenilir asimetri / zirve ölçüsü olmadığını unutmayın. Bununla birlikte, kirişlerin ilk üç an için iyi bir fiziksel sezgi verdiğini düşünüyorum, örneğin, ortalama = ışın dengesi / ölçeği , varyans = konsol eğimi , çarpıklık = tahterevalli .

— GeoMatt22

Haklısın, basıklığın "doruk noktası " ölçmek olarak yorumlanması büyülü ve gizemli. Çünkü hiç de doğru değil. Basıklık size zirve hakkında kesinlikle hiçbir şey söylemez. Sadece kuyrukları (aykırı değerleri) ölçer. Zirvenin yakınındaki gözlemlerin, zirvenin düz, çivili, bimodal, sinüzoidal veya çan şeklinde olmasına bakılmaksızın, basıklık ölçüsüne minik bir miktarda katkıda bulunduğunu matematiksel olarak kanıtlamak kolaydır.

— Peter Westfall

Yanıtlar:

Standart tanımlanmış rasgele değişkenlerin momentleri için genel forma baktığınızda daha net hale gelen bu tanımların iyi bir nedeni vardır. Bu soruyu cevaplamak için, öncelikle genel şeklini dikkate inci merkez anı standardize : $n$ $^\dagger$

φ_{n} = E [(\frac{X - E [X]}{S [X]})^{n}] .

$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$

İlk iki standart an , yukarıdaki miktarın iyi tanımlandığı tüm dağıtımlar için geçerli olan ve değerleridir . Bu nedenle, değerleri için meydana gelen önemsiz standartlaştırılmış merkezi momentleri düşünebiliriz . Analizimizi kolaylaştırmak için şunları tanımlarız: $\phi_1=0$ $\phi_2=1$ $n \geqslant 3$

\begin{aligned} φ_{n}^{+} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X > E [X]] \cdot P (X > E [X]), \\ φ_{n}^{-} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X < E [X]] \cdot P (X < E [X]) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$

Bu elde negatif olmayan miktarlardır inci mutlak onun beklenen değerin üstünde veya altında olması ile standart rasgele koşullu değişken güç. Şimdi standart merkezi anı bu parçalara ayıracağız. $n$

Arasında Tek değerleri kuyrukları eğri ölçülmesi: $n$ herhangi bir tekil değer için biz an denklemde tek bir güce sahip ve standart merkez an yazabilir böylece . Bu formdan, standartlaşmış merkezi momentin standartlaştırılmış rastgele değişkenin Mutlak gücü arasındaki farkı verdiğini görüyoruz , şartlı olarak sırasıyla ortalamasının üstünde veya altında olmalıdır. $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$ $n$

Bu nedenle, herhangi bir tek güç için, standartlaştırılmış rasgele değişkenin beklenen mutlak gücü, ortalamanın üzerindeki değerler için ortalamanın altındaki değerlerden daha yüksekse pozitif değerler veren ve beklenen ise negatif değerler veren bir ölçü alırız. mutlak güç, ortalamanın üzerindeki değerler için ortalamanın altındaki değerlere göre daha düşüktür. Bu miktarlardan herhangi biri, bir tür "çarpıklığın" ölçüsü olarak kabul edilebilir; daha yüksek güçler, ortalamadan uzak değerlere daha fazla göreceli ağırlık verir. $n \geqslant 3$

Bu fenomen her bir güç için meydana geldiğinden , arketipsel bir "çarpıklık" ölçüsü için doğal seçim çarpıklık olarak tanımlamaktır . Bu, daha yüksek garip güçlerden daha düşük standartlaşmış merkezi bir andır ve daha yüksek dereceli anları düşünmeden önce daha düşük dereceli anları keşfetmek doğaldır. İstatistiklerde , dağılımın bu yönünü ölçen en düşük standartlaşmış merkezi moment olduğundan, bu standartlaşmış merkezi ana çarpıklık olarak gönderme konvansiyonunu kabul ettik . (Daha yüksek garip güçler, çarpıklık türlerini de ölçer, ancak ortalamadan uzak değerlere daha fazla ve daha fazla vurgu yaparak.) $n \geqslant 3$ $\phi_3$

değerleri bile kuyrukların şişmanlığını ölçer: $n$ herhangi bir çift değeri için moment denkleminde eşit bir güce sahibiz ve böylece standart merkezi anı . Bu formdan, standartlaştırılmış merkezi momentin standartlaştırılmış rastgele değişkenin Mutlak gücünün toplamını verdiğini görüyoruz , şartlı olarak sırasıyla ortalamasının üstünde veya altında olmalıdır. $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$ $n$

Böylece, herhangi bir çift güç için, standart olmayan rastgele değişkenin dağılım kuyrukları daha şişman ise, daha yüksek değerler ile negatif olmayan değerler veren bir ölçü elde edeceğiz. Bunun standartlaştırılmış rastgele değişkenle ilgili bir sonuç olduğunu ve bu nedenle ölçeğin (varyansın değiştirilmesinin) bir değişikliğinin bu ölçüm üzerinde bir etkisi olmadığını unutmayın. Daha ziyade, dağılımın varyansı için standartlaştırıldıktan sonra, kuyrukların şişmanlığının etkili bir ölçüsüdür. Bu miktarlardan herhangi biri makul bir tür "basıklık" ölçüsü olarak kabul edilebilir, daha yüksek güçler ortalamadan uzak değerlere daha fazla göreceli ağırlık verir. $n \geqslant 3$

Bu fenomen her güç için meydana geldiğinden , arketipik bir basıklık ölçüsü için doğal seçim basıklık olarak tanımlamaktır . Bu, daha yüksek çift güçlerden daha düşük standartlaşmış merkezi bir andır ve daha yüksek dereceli anları düşünmeden önce daha düşük dereceli anları keşfetmek doğaldır. İstatistiklerde, dağıtımın bu yönünü ölçen en düşük standartlaşmış merkezi moment olduğundan, bu standartlaştırılmış merkezi ana "basıklık" olarak atıfta bulunma sözleşmesini kabul ettik. (Yüksek çift güçler aynı zamanda basıklık tiplerini de ölçer, ancak ortalamadan uzak değerlere daha fazla ve daha fazla vurgu yaparak.) $n \geqslant 3$ $\phi_4$

$^\dagger$ Bu denklem, ilk iki anı bulunan ve sıfır olmayan varyansı olan tüm dağılımlar için iyi tanımlanmıştır. İlginin dağılımının analizin geri kalanı için bu sınıfa düştüğünü varsayacağız.

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Benzer soru Olasılık dağılımının 'anları' hakkında 'an' olan şey nedir? Anlara hitap edene fiziksel bir cevap verdim .

"Açısal ivme, zamana göre açının türevi olan açısal hızın türevidir, yani olacak bir hızlanma / yavaşlama o dairesel (yani, açısal, (aynı zamanda, ikinci türevi), eğer. ikinci momenti tork benzer olduğunu göz önünde bulundurun dairesel bir hareket uygulanır, veya ) hareket. Benzer şekilde, üçüncü bir an olur tork değişim hızı ve benzerleri, değişim oranlarının değişim oranlarının, yani dairesel hareketin sıralı türevlerinin oranlarını değiştirmek için daha yüksek anlar vb. $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$

Bunu fiziksel örneklerle görselleştirmek belki de daha kolay olduğu için bağlantıya bakın .

Çarpıklığın anlaşılması basıklıktan daha kolaydır. Negatif bir çarpıklık, sağdakinden daha ağır bir sol kuyruktur (veya daha ileri negatif yönde) ve tersi de pozitif çarpıklıktır.

Wikipedia , Westfall'dan (2014) bahseder ve yüksek kurtozisin, çok fazla aykırı olan rasgele değişkenler veya bir veya iki ağır kuyruklu yoğunluk fonksiyonları için ortaya çıktığını ve herhangi bir merkezi veri eğiliminin veya yoğunluğunun basıklık değeri üzerinde nispeten az etkisi olduğunu iddia eder. Düşük basıklık değerleri, bunun tersi, yani ekseni aykırı değerlerinin olmaması ve her iki kuyruğun göreceli hafifliğini ima eder . $x$

— Carl
kaynak

Çarpıklık, pdf'sinin denge noktasıdır ve basıklık, pdf'sinin denge noktasıdır . Her iki dönüşüm kuyrukları daha fazla "basık" gergin. Pdf Eğer bir destek noktası 0 olarak yerleştirildiğinde sağa düşer, o zaman orijinal dağılımında olumlu bükülmesi var. Pdf Eğer bir dayanak noktası 3.0 yerleştirildiğinde sağa doğru düşer, o zaman ilk dağıtım ağır kuyruklu normal dağılım daha uzundur. Burada, "kuyrukların ağırlığı" kütle yerine kaldıraçtan daha kesin olarak söz eder. Moors'un yorumu her iki “konsantrasyon” dan bahsetmeden pek de doğru değildir.

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

— Peter Westfall

@PeterWestfall Moors'un yorumunun kusurlu olduğuna katılıyorum. Kesin dil, kafa karıştırıcı olmadan da kolayca elde edilemez. Örneğin "kaldıraç" ı ele alalım. Kaldıraç, ilk an anlamına gelir ve ikinci an için "kaldıraçlı kaldıraç" gibi bir şey icat etmek zorunda kalacak ve bu da aydınlanmaktan daha fazlasını karıştırabilir. Yaklaşımınız yeni bir kavram, yani "gerilmiş kaldıraç" icat ediyor gibi görünüyor, bu da geometrik dönüşümlere işaret ediyor, ki bunlardan biri de tartışmalı olma ve başkaları için fiziksel olmayan riskte kendini tutarlı olarak tercih eden bazı savunucuları talep edebilir .

— Carl

U

$U$

U = Z^{4}

$U = Z^4$

Z^{4}

$Z^4$

Z

$Z$

Z^{2}

$Z^2$