Basit doğrusal regresyondaki kesişim ve eğim tahminleri bağımsız mıdır?

Doğrusal bir model düşünün

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

ve en küçük kareler kullanılarak ve eğimi ve kesişimine ilişkin tahminler . Bu matematiksel istatistik referansı , ve ifadelerinin bağımsız olduklarını (teoremlerini kanıtlarken) ifade eder. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

Nedenini anladığımdan emin değilim. Dan beri

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Bu ve ile ilişkili olduğu anlamına gelmiyor mu? Muhtemelen burada gerçekten bariz bir şeyi özlüyorum. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

regression

— WetlabStudent
kaynak

Aşağıdaki alt sayfada aynı siteye gidin:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Regresör örnek ortalamasına odaklanmış olarak basit doğrusal regresyon modelini belirlediklerini daha net göreceksiniz . Bu, daha sonra neden ve bağımsız olduğunu söylediklerini açıklıyor . $\hat \alpha$ $\hat \beta$

Katsayıları olan regresör ile tahmin edilmektedir durum için değil merkezli, onların kovaryans olduğu

Cov (\hat{α}, \hat{β}) = - σ^{2} (\bar{x} / S_{x x}), S_{x x} = \sum (x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2})

$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$

Gördüğünüz gibi, üzerinde ortalanmış bir regresör kullanırsak , buna deyin , yukarıdaki kovaryans ifadesi, ortalanmış regresörün sıfır olan örnek ortalamasını kullanacaktır. o da sıfır olacak ve katsayı tahmin edicileri bağımsız olacaktır. $\bar x$ $\tilde x$ $\tilde {\bar x}$

Bu yazı , basit doğrusal regresyon OLS cebiri hakkında daha fazlasını içerir.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Ben kullanmayı düşünün yerine . Aksi takdirde

C o v (\hat{α}, \hat{β} | X)

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$

C o v (\hat{α}, \hat{β})

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$

\bar{x}

$\bar x$ ve

S_{x x}

$S_{xx}$ nüfus muadilleri ile değiştirilmelidir. Yoksa yanılıyor muyum?

— Richard Hardy