Evrişim neden çalışır?

Bence bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının olasılık dağılımını bulmak istiyorsanız biliyorum Yani , biz olasılık dağılımları onu hesaplayabilir ve söyleyerek, $X + Y$ $X$ $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

Biz iki rastgele değişkenler toplamı olasılığını bulmak istiyorsanız, çünkü Sezgisel olarak bu, mantıklı , temelde hiç toplayarak bu değişkenlerin neden bütün olayların olasılıklarının toplamı olur . Ancak bu ifadeyi resmi olarak nasıl kanıtlayabilirim? $a$ $a$

probability

— Jessica
kaynak

Biraz farklı bir soru ama cevap benzer .

— Carl

Yanıtlar:

Daha genel çözüm , ve mutlaka bağımsız olmadığı dikkate alır . Bir PDF'nin nereden geldiğini veya nasıl gerekçelendirileceğini merak ettiğiniz sorunlar için ortak bir çözüm stratejisi, bunun yerine muhtemelen bir kümülatif bulmaktır, daha sonra CDF'yi bir PDF'ye indirmek için farklılaşmaktır. $Z = X + Y$ $X$ $Y$

Bu durumda olduğunu görmek oldukça kolaydır. burada , - düzleminin olduğu bölgedir . $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

Bu, aşağıdaki diyagramdaki mavi yumurtadan çıkan bölgedir. Bu bölgeyi şeritler halinde parçalayarak entegre etmek doğaldır - dikey şeritler ile yaptım ama yatay olanlar yapacak. Etkili bir şekilde her koordinatı için ila arasında değişen bir şeritle sonuçlanırım ve her şerit boyunca değerlerinin çizgisinin üzerine çıkmamasını istiyorum , bu yüzden . $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

Şimdi ve cinsinden entegrasyon sınırları elde ettik, üst sınırı olarak görünmesini sağlamak amacıyla , yerine aşağıdaki gibi bir ikame yapabiliriz . Değişkenleri değiştirmek için Jacobian'ın kullanımını anladığınız sürece matematik basittir . $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

Belirli koşullar karşılandığı sürece, elde etmek için ile ilgili integral işareti altında ayrım yapabiliriz : $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

ve bağımsız olmasa bile bu işe yarar . Fakat eğer öyleyse, eklem yoğunluğunu iki marjinal olanın ürünü olarak yeniden yazabiliriz: $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

Kukla değişken zarar görmeden istenirse olarak yazılabilir . $u$ $x$

İntegrallerle ilgili yazım, Geoffrey Grimmett ve Dominic Walsh'un 6.4. Bölümünü, Olasılık: Giriş , Oxford University Press, New York, 2000'i takip ediyor.

— Gümüş Balık
kaynak

+1 Bir gösterim olarak, kural, çok katlı integralin dışındaki diferansiyelin dış integrale uygulandığı; Bu şekilde, form bir ifadede göre entegrasyon yapılır ilk --O iç yekparedir - ile ilgili olarak ve son yapılır - dış integraldir. Bu, olduğu gibi, anlamı değiştirmeden parantez koymamıza izin verir .

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

— whuber

@whuber, bunu düşünerek, kesinlikle bildiğim her ders kitabında uygulanan konvansiyon budur (bu nedenle çoklu entegrasyon etkili bir şekilde iç içe integrallerdir). Ancak Grimmett ve Welsh "Olasılık: Bir Giriş", hem sınırlar hem de farklılıklar için aynı sol-sağ düzenin kendi kurallarıyla kesinlikle tutarlıdır, örneğin !

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— Silverfish

Birçok alanın kesiştiği noktada, çelişkili sözleşmelere nasıl maruz kaldığımızla sürekli eğleniyorum. Farklı geçmişlere sahip insanlarla çalışmanın keyiflerinden biri.

— whuber

@whuber İntegralleri belirleme kurallarının ülkeler arasında büyük farklılıklar gösterdiğinin farkındayım - bunu Tex SE'den alacaksınız tex.stackexchange.com/a/88961/25866 ve keşke çoklu entegrasyonu kapsayacak şekilde genişletildi!

— Silverfish

İfade, yalnızca sağ taraf için bir yoğunluk gibi davranıyorsa doğrudur ; yani, $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

herkes için . Sağ taraftan başlayarak bunu doğrulayalım. $a$

Entegrasyon sırasını değiştirmek ve yerine yapmak için Fubini Teoremini uygulayın . Onun belirleyicisi Jacobian olan hiçbir ek şartlar değişkenlerin bu değişiklikten tanıtıldı yüzden. ve birebir yazışmalar içerdiğinden ve if ve yalnızca , integrali şu şekilde yeniden yazabiliriz: $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

Tarafından tanımı bu üzerinde bütünleşik olan arasında $\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

burada bir kümenin gösterge fonksiyonudur. Son olarak, ve bağımsız olduklarından, herkes için , integrali sadece beklenti olarak ortaya koyar $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

istediğiniz gibi.

Daha genel olarak, veya birinin veya her ikisinin dağıtım işlevi olmasa bile, $X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

olasılıklar ve beklentiler arasında gidip gelmek için göstergelerin beklentisini kullanarak ve ve açısından hesaplamayı ayrı beklentilere bölmek için bağımsızlık varsayımından yararlanmak için doğrudan temel tanımlardan : $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

Bu, ayrı ayrı rasgele değişkenler için olağan formülleri, örneğin, normalden biraz farklı bir biçimde de olsa içerir (çünkü olasılık kütle fonksiyonları yerine CDF'ler olarak belirtilir).

türevler ve integraller hakkında yeterince güçlü bir teoreminiz varsa, yoğunluğunu elde etmek için her iki tarafı da a göre farklılaştırabilirsiniz , $a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— whuber
kaynak