Minimum üstel dağılımlar için maksimum olabilirlik tahmincisi

Bu sorunu nasıl çözeceğime takıldım.

Bu yüzden, rastgele değişkenlerin, iki dizilerine sahiptir ve için . Şimdi ve , ve parametreleriyle bağımsız üstel dağılımlardır . Ancak ve gözlemlemek yerine ve gözlemliyoruz . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

Şimdi, en az iki bağımsız üstel değerin kendisinin üstel olduğunu ve oranların toplamına eşit olduğunu biliyorum, bu yüzden parametresi ile üstel olduğunu biliyoruz . Dolayısıyla, maksimum olabilirlik tahmincimiz: . $Z$ $\lambda+\mu$ $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$

Ama buradan nereye gideceğime takılıp kaldım. parametresi ile bir Bernoulli dağılımı olduğunu biliyorum , ama bu parametrelerden biri hakkında bir ifadeye dönüştürme hakkında nasıl bilmiyorum. Örneğin, MLE ve / veya açısından ne tahmin eder ? Anlıyorum ki eğer ardından , ama burada herhangi bir cebirsel ifadesi ile gelip nasıl bulmaktan zor zamanlar geçiriyorum. $W$ $p=P(Z_i=X_i)$ $\bar{W}$ $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

GÜNCELLEME 1: Bu yüzden yorumlarda ve ortak dağılımı olasılığını türetmem söylendi . $Z$ $W$

Böylece burada . Doğru? ve bağımsız olmadığından , bu durumda ortak bir dağıtımın nasıl türetileceğini bilmiyorum . $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Bu, bize verir Bu nedenle tanımına göre , yukarıda. Ama şimdi ne olacak? Bu beni hiçbir yere götürmez. Olabilirliği hesaplama adımlarından geçersem, şunu elde ederim: ( karışımın her bir kısmı için örnek boyutları olarak ve kullanarak ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Kısmi türevleri alırsam, bu bana ve için MLE tahminlerimin üzerindeki koşullarının ortalaması olduğunu söyler . Yani, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
kaynak

Bugün benzer bir MLE sorusunu yanıtladıktan sonra, sizi bazı fikirler için bu çözüme yönlendirebilir miyim ? Sorular arasındaki ilişki, verilerinizin doğal olarak iki ayrık gruba ayrılmasıdır: ve . Her şey, formunun gözlemlenmesi olasılığını not etmekle ilgilidir ; ve , ve arasındaki simetri , hemen form verisi olasılığını üretir ve sonra kapanır ve çalışır hale gelirsiniz.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Maksimum olasılığa yazmak için acele etmeyin! İlk olarak, nin ortak dağılımını ifade edin , ardından üstel varsayım sayesinde kapalı formda olan numunesi ile ilişkili olasılığı . Sonra ve ancak o zaman fonksiyonu en üst düzeye çıkarmaya çalışabilir ve böylece maksimum olasılığı elde edebilirsiniz.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an

@whuber: (+1) bu açık gerçekten oldukça olup arasındaki mesafeyi içeren 'in ve , ancak her ikisi de grupları içeren iki ve onlar hakkında bilgi getirmek için, her ikisi de ve , .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xi'an

@ Xi'an Bu doğru - ve tutmaya devam etmek için bağladığım Normal teori örneğiyle paralellikler, çünkü her iki grup da tahmini "verileri" birleştirecek olan ortak parametre (ölçek) hakkında bilgi veriyor gruplardan. Burada , bize ( için oran veya ters ölçek ) tahmininin ve ayrı tahminlerine nasıl dağıtılması gerektiğini anlattığı görülecektir .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Diğer konu, whuber okudum, ama dürüstçe bu örneğe nasıl uygulanacağını anlamıyorum. Z ve W bağımsız değil, bu yüzden ortak dağılımı nasıl elde edebilirim?

— Ryan Simmons

Yorum yapmak için yeterli puanım yok, bu yüzden buraya yazacağım. Eğer aşağıdakileri göz önünde bulundurursanız, gönderdiğiniz sorunun bir hayatta kalma analizi perspektifinden görüntülenebileceğini düşünüyorum:

$X_i$ : Gerçek hayatta kalma süresi,

$Y_i$ : zamanı,

Her ikisinin de ve bağımsız olarak üstel dağılımı vardır . O zaman gözlemlenen hayatta kalma süresidir ve sansürleme göstergesidir. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Hayatta kalma analizine aşina iseniz, bu noktadan başlayabileceğinize inanıyorum.

Notlar: İyi bir kaynak: Hayatta Kalma Verilerinin DRCox ve D.Oakes tarafından analizi

Aşağıda bir örnek verilmiştir: Hayatta kalma süresi dağılımının olduğu varsayılarak . O zaman hayatta kalma fonksiyonu: . Ve günlük olasılığı: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

sansürsüz insanlar ( ) ve sansürsüz insanlar ( ) üzerinde toplamla . $u$ $c$

H (t) 'nin tehlike fonksiyonu olduğu olduğu için, bu yazılabilir: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Ve maksimum olabilirlik tahmincisi arasında geçerli: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ ; burada , toplam vaka $d$ $W_i=1$

— jujae
kaynak